数学归纳法论文文献综述.doc

1本 科 毕 业 论 文文 献 综 述题 目 数学归纳法及其在数列中的应用学 院 数学与信息科学 专　业 数学与应用数学班　　级 11数本一 学　号 11109334132学生姓名 夏博 指导教师 何文明温州大学教务处制2数学归纳法及其在数列中的应用文献综述摘要：数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，也是中学数学一个非常重要的内容，用于证明与无穷的自然数集相关的命题．但凡涉及无穷，总会花费数学家大量时间与精力，去理解并弄清它的真正意义．普通归纳法与自然数这一最古老的数学概念及“无穷”这个无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法” ，自然也需要一个漫长的认识过程在中学中，数学归纳法是解决数列问题的一种重要手段，只有在理解了数学归纳法的数学思想，理解了数学归纳法的原理和实质，掌握数学归纳法的步骤才能更为有效的解决数列问题关键字：数学归纳法；数列§1、前言一般认为,归纳推理可以追溯到公元前 6 世纪的毕达哥拉斯时代毕达哥拉斯对点子数的讨论是相当精彩的他由有限个特殊情况而作出一般结论, 具有明显的推理过程,但这些推理只是简单的列举,没有涉及归纳结果,因此是不完全的归纳推理完整的归纳推理,即数学归纳法的早期例证是公元前 3 世纪欧几里得《几何原本》中对素数无限的证明。

其中已经蕴含着归纳步骤和传递步骤的推理16 纪中叶,意大利数学家莫罗利科(F·Maurolycus)对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究莫罗利科认识到,对于一个与自然数有关的命题,为了检验其正确与否,若采取逐一代入数进行检验的方法,是严格意义上的数学证明, 要把所有的自然数都检验一遍是不可能做得到的,因为自然数有无穷多个那么对于这类问题该如何解决呢?1575 年,莫罗利科在他的《算术》一书中,明确地提出了“递归推理”这个思想方法法国数学家 B·帕斯卡(Pascal)对莫罗利科提出的递归推理思想进行了提炼和发扬在他的《论算术三角形》中首次使用数学归纳法,并用其证明了“帕斯卡三角形”(二项展开式系数表,中国称为“贾宪三角性”或“杨辉三角形”)等命题数学归纳法”这一名称最早见于英国数学家 A.德·摩根 1838 年所著的《小百科全书》的引言中德·摩根指出“这和通常的归纳程序有极其相似之处”, 故赋予它“ 逐次归纳法”的名称由于这种方法主要应用于数学命题的证明,德·摩根又提出了“数学归纳法”这个名称虽然数学归纳法早就被提出并广泛应用了,一直以来它的逻辑基础都是不明确的1889 年意大利数学家皮亚诺(GPeano)建立了自然数的序数理论,将“后继”作为一种不加定义的基本关系, 列举了自然数不加证明的五条基本性质,其中归纳公理便为数学归纳法的逻辑基础。

至此,数学归纳法有了严格的逻辑基础,并逐渐演变为一种常用的数学方法3§2、数学归纳法的原理§2.1 数学归纳法概念数学归纳法概念: 数学归纳法是数学上证明与正整数 有关的命题的一种N特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题§2.2 数学归纳法的基本原理在了解数学归纳法的基本原理前，我们不妨先来回想一下小时候对正整数的认识过程，首先，父母叫我们数 ,后来数 ,有 必有 ，每一个正整数后面123都有一个正整数，于是我们说：会数数了事实上，数学归纳法正是基于这样一个简单原理数学归纳法来源于皮亚诺自然公理，自然数有以下性质：(1) 是自然数1(2)每一个确定的自然数 ,都有一个确定的随从 ， 也是自然数a'a'(3) 非随从，即 '1(4)一个数只能是某一个数的随从，或者根本不是随从，即由 ''b一定能推得 a(5)任意一个自然数的集合，如果包含 ，并且假设包含 ，也一定包含1a的随从 ,那么这个集合包含所有的自然数a'后来因为把 也作为自然数，所以公理中的 要换成 0 0其中的性质(5)是数学归纳法的根据，有了这一原理，就有了数学归纳法：设是与正整数有关的数学命题，如果：(1)命题当 时正确，即 正确kn1kn(2)在假设正确的前提下，可以证明命题也正确，那么命题对任意正整数都是正确的。

§2.3 数学归纳法的其它形式数学归纳法原理本质上来看由两个重要步骤构成，首先是奠基步，这往往比较容易，但却是必须的，然后需要一个一般意义的演绎规则，按照这个演绎规则，反复应用，从奠基步开始，在有限步之内达到任意指定的情形，通常，4这个一般的演绎规则是从所谓的归纳法假设开始，从较少规模成立的假设推导出较大规模的情形成立，从而建立一个一般的演绎规则，因此，从这一本质出发，数学归纳法可演绎出丰富的“变着” ，概括起来有两个方面：一是奠基点的前提或后推，增多或减少：二是递推跨度和递推途径的变通，而正是因为是“变着”的多样性和应用技巧的灵活性，才使数学归纳法显示出广泛的应用性1)不一定从 开始，也就是数学归纳法里的两句话，可以改成：如果当1的时候，这个命题是正确的，又从假设当 时，这个命题是正0kn )(0kn确的，可以推出当 时，这个命题也是正确的，那么这个命题 时都kn 0kn正确这是第一数学归纳法的“变着” ，也叫做跳跃数学归纳法2)第二句话也可以改为“如果当 适合于 时命题正确，那么当k1时，命题也正确 ”，由此同样可以证明对于所有命题都正确这种属于1kn第二数学归纳法的“变着” 。

3)设 是关于自然数 的命题，若 对无限多个自然数成立；假设)(npN)(np成立可推出 成立，则命题一切自然数 都成立)1(k)(k总之，数学归纳法原理还隐含着许多“变着” ，这便使得数学归纳法在证题中发挥着重要的作用，除此之外，还有其它其实的数学归纳法，如跷跷板数学归纳法，双重数学归纳法§2.4 数学归纳法的步骤数学归纳法主要用来证明一个与正整数有关的命题, 它的步骤如下:1.证明当n 取第一个值n0 时结论正确;2.假设当 n=k( k!N*, 且 k≥n0) 时结论正确, 证明当 n=k+1 时结论也正确.在完成了这两个步骤以后, 就可以断定命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确.§3、数列的通项公式的求法一、 观察法观察法即是通过考察所给数列的前几项来写出数列通项公式的方法二、 归纳法有些数列本身所具有的规律很明显，但通项公式 经观察不容易看𝑎𝑛≡𝑓(𝑛)出，我们可以采用逐步归纳的方法去发现 与n之间的规律，从而写出通项𝑎𝑛公式三、 猜想法数列各项之间的规律不明显，给出了一些与该数列相关的一些已知条件，我们可以通过已知条件求出该数列的前有限个项，再来考察该有限个项与 n之间的规律，猜出通项公式。

𝑎𝑛5四、 可化为等差或等比的数列通项公式的求法数列{ }不成等差或等比，但{ }成等差或等比数列，则称{ }为𝑎𝑛 𝑎𝑛‒𝑎𝑛‒1 𝑎𝑛可化为等差或等比数列的数列五、 利用拆、凑通项的方法求数列的通项公式对有些特殊的数列，我们可以对通项进行恒等变换，从而写出该数列的通项公式六、 利用 求𝑠𝑛 𝑎𝑛在已知数列前n项和的条件下，可利用 与 的关系求出 ，即𝑠𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛≡𝑓(𝑛)，当n=1时， 当 时，𝑎𝑛=𝑠𝑛‒𝑠𝑛‒1(𝑛≥2) 𝑎1=𝑠1‒𝑠0 𝑠0=0适合第一项，否则不适合第一项𝑎𝑛=𝑠𝑛‒𝑠𝑛‒1七、 利用差分方程求递推数列的通项公式若数列{ }的前两项为已知，以后各项由递推公式𝑎𝑛给出要求数列{ }的通项公式𝑎𝑛+1=𝑝𝑎𝑛+𝑞𝑎𝑛‒1(𝑛≥2)(𝑝,𝑞为 常数 ) 𝑎𝑛，可利用差分方差： 它的标准方程为𝑎𝑛≡𝑓(𝑛) 𝑋𝑛+1=𝑃𝑋𝑛+𝑞𝑋𝑛‒1(A、B为待定系数)，其中 为特征方程 的解再𝑎𝑖=𝐴𝑡𝑖1+𝐵𝑡𝑖2 𝑡1,𝑡2 𝑡2=𝑝𝑡+𝑞根据已知 的值求出A、 B，即可写出{ }的通项公式。

𝑎1,𝑎2 𝑎𝑛参考文献（5号宋体加黑）[1 ]华罗庚 数学归纳法1 上海: 上海教育出版社19631111[2 ]韩景志 漫谈数学归纳法1 数学通报11997171[3 ]郭金洪 数学归纳法及其教学1 中学数学研究119851115 ～81[4 ]惠州人 课例大家评———评《数学归纳法的教学设计 》难点的突破技术知识的形成过程1 中学数学教学参考1199915122～231[5 ]党政 数学归纳法中归纳推理的常用技巧 数学通讯1998181[6 ]平辛伦. 数学归纳法史述〔J〕. 数学教学(上海) ,1995 (1)[7]G. H. Hardy, A course of pure mathematics, 7th edition, Cambridge: University Press, 1938.[8] D. Struik, A concise history of mathematics, 4th revised edition, Dover publications, Inc. 1987[9] C. Boyer., A History of mathematics, John Wiley& Sons, Inc 1968.[10] R. Carlinger (ed.), Classics of mathematics, Mooore publishing company Inc., 1982.（参考文献10篇以上，其中至少两篇外文，外文使用Times New Roman 字体）。