高考数学回归课本圆锥曲线.docx
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高考数学回归课本教案整理：卢立臻第十一章 圆锥曲线一、基础知识1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为；2）斜率为k的切线方程为；3）过焦点F2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为6．双曲线的定义，第一定义：满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点P的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为，参数方程为（为参数）焦点在y轴上的双曲线的标准方程为8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(a, b>0),a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为离心率，由a2+b2=c2知e>1两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上若a=b，则称为等轴双曲线9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。 设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是10．抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为，准线方程为，标准方程为y2=2px(p>0)，离心率e=1.11．抛物线常用结论：若P(x0, y0)为抛物线上任一点，1）焦半径|PF|=；2）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为θ的弦长为12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若0 这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为二、方法与例题1．与定义有关的问题例1 已知定点A（2，1），F是椭圆的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标[解] 见图11-1，由题设a=5, b=4, c==3,.椭圆左准线的方程为，又因为，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q由定义知，则|PF|=|PQ|所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM左准线于M)所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得，又x<0，所以点P坐标为例2 已知P，为双曲线C：右支上两点，延长线交右准线于K，PF1延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）求证：∠F1K=∠KF1Q.[证明] 记右准线为l，作PDl于D，于E，因为//PD，则，又由定义，所以，由三角形外角平分线定理知，F1K为∠PF1P的外角平分线，所以∠=∠KF1Q2．求轨迹问题例3 已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程[解法一] 利用定义，以椭圆的中心为原点O，焦点所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设椭圆方程：=1（a>b>0）.F坐标为(-c, 0).设另一焦点为。 连结，OP，则所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.所以点P的轨迹是以F，O为两焦点的椭圆（因为a>|FO|=c），将此椭圆按向量m=(,0)平移，得到中心在原点的椭圆：由平移公式知，所求椭圆的方程为[解法二] 相关点法设点P(x,y), A(x1, y1)，则，即x1=2x+c, y1=2y. 又因为点A在椭圆上，所以代入得关于点P的方程为它表示中心为，焦点分别为F和O的椭圆例4 长为a, b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹[解] 设P(x, y)为轨迹上任意一点，A，B，C，D的坐标分别为A(x-,0), B(x+,0), C(0, y-), D(0, y+), 记O为原点，由圆幂定理知|OA|•|OB|=|OC|•|OD|，用坐标表示为，即当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x；当a>b时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线；当a 由外心性质知 再由得×tanθ=-1结合上式有•tanθ=①又 tanθ+=②又 所以tanθ-=两边平方，再将①，②代入得即为所求3．定值问题例6 过双曲线(a>0, b>0)的右焦点F作B1B2轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点求证：H的横坐标为定值[证明] 设点B，H，F的坐标分别为(asecα,btanα), (x0, 0), (c, 0)，则F1，B1，B2的坐标分别为(-c, 0), (c, ), (c, )，因为F1，H分别是直线B2F，BB1与x轴的交点，所以①所以 由①得代入上式得即 （定值）注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试例7 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC//x轴证明：直线AC经过定点[证明] 设，则，焦点为，所以，，，由于，所以•y2-y1=0，即=0因为，所以所以，即所以，即直线AC经过原点例8 椭圆上有两点A，B，满足OAOB，O为原点，求证：为定值[证明] 设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=，则点A，B的坐标分别为A(r1cosθ, r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。 由A，B在椭圆上有即 ①②①+②得（定值）4．最值问题例9 设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OAOB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值[解] 由题设a=1，b=,记|OA|=r1,|OB|=r2,，参考例8可得=4设m=|AB|2=,因为，且a2>b2，所以，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a.所以又函数f(x)=x+在上单调递减，在上单调递增，所以当t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当或时，|AB|取最大值例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为，若圆C：1上点与这椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程[解] 设A，B分别为圆C和椭圆上动点由题设圆心C坐标为，半径|CA|=1，因为|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A，B，C共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值，所以|BC|最大值为因为；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,,t，椭圆方程为，并设点B坐标为B(2tcosθ,tsinθ)，则|BC|2=(2tcosθ)2+=3t2sin2θ-3tsinθ++4t2=-3(tsinθ+)2+3+4t2.若，则当sinθ=-1时，|BC|2取最大值t2+3t+，与题设不符。 若t>,则当sinθ=时，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.所以椭圆方程为5．直线与二次曲线例11 若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围[解] 抛物线y=ax2-1的顶点为(0,-1)，对称轴为y轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条件是存在一对点P(x1,y1)，(-y1,-x1)，满足y1=a且-x1=a(-y1)2-1，相减得x1+y1=a(),因为P不在直线x+y=0上，所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+所以此方程有不等实根，所以，求得，即为所求例12 若直线y=2x+b与椭圆相交，（1）求b的范围；（2）当截得弦长最大时，求b的值[解] 二方程联立得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由Δ>0，得
