一元二次方程根与系数的关系及其应.doc

一元二次方程根与系数的关系及其应用[准备知识回顾]：1、一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数的次数最高是2的整式方程叫一元二次方程.2、一般形式: （是常数，且） 3、解法:①直接开平方法:形如和的形式可直接开平方.如(-1)2=5两边开平方得: ②公式法：的求根公式是：③十字相乘法:方程右边为零，左边分解成的形式,将一元二次方程转化成,的形式,变成两个一元一次方程来解. 4、根的判别式:△=方程有两个不相等实根.方程有两个相等实根. 方程无实根.例 求解下列方程（1） （2）（3） （4） （5） （6） (7)[韦达定理相关知识]1、 若一元二次方程有两个实数根，那么 ， 我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．2、如果一元二次方程的两个根是，则 ， 。

反过来，如果x1，x2满足x1+x2=p，x1x2=q，则x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根．3、以为根的一元二次方程（二次项系数为1）是4、在一元二次方程中，有一根为0，则 ；有一根为1，则 ；有一根为，则 ；若两根互为倒数,则 ；若两根互为相反数，则 5、二次三项式的因式分解 在分解二次三项式的因式时，如果可用公式求出方程的两个根，那么．如果方程无根,则此二次三项式不能分解.6 应用一元二次方程的根与系数关系时，要注意 （1）首先要把已知方程化成一般形式.　　（2）当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与系关系.　　（3）已知方程的两根，求作一元二次方程时，要注意根与系数的正、负号.韦达定理的应用1、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值例、已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值　　分析：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值.　解法一：把x=2代入原方程，得22-6×2+m2-2m+5=0　　即　m2-2m-3=0　　解得m1=3　 =-1　　当m1=3　 =-1时，原方程都化为　　x2-6x+8=0 ∴x1=2　 x2=4　　∴方程的另一个根为4，m的值为3或-1.解法二：设方程的另一个根为x.　　则　　∴或　　 2、判别一元二次方程两根的符号.例1、不解方程，判别2x2+3x-7=0两根的符号　　分析：因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式△，但△只能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察x1·x2 或 x1+ x2的正负情况.　　解：∵△=32-4×2×(-7)=65>0　　∴方程有两个不相等的实数根　 设方程的两个根为x1, x2，　　∵x1·x2==- <0　　∴原方程有两个异号的实数根。

　　说明：判别根的符号，需要“根的判别式”，“根与系数的关系”结合起来进行确定.另外本题中x1·x2﹤0，可判定根为一正一负，若x1·x2>0，仍需考虑x1+ x2的正负，从而判别是两个正根还是两个负根.例2、当m为什么实数时，关于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是正数　　分析：正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大于零，根的判别式大于等于零　　解：设方程的二根为x1, x2，且x1>0, x2>0，　　则有 　　由 △=[-2(m+1)]2-4m(m-1)≥0　　　　 解得：m≥-　　∵m≠0,　 ∴m>0或m<0，　　∴上面不等式组化为：　　⑴ 或　 ⑵　　由⑴得　m>1　　　　　　　⑵不等式组的解集为空集.∴m>1　　　∴当m>1时，方程的两个根都是正数　　说明：当二次项系数含有字母时，不要忘记a≠0的条件　　例3、k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0　　（1）两根互为相反数　　（2）两根互为倒数　　（3）有一根为零，另一根不为零　　分析：两根“互为相反数”、“互为倒数”，“有一根为零，另一根不为零”等是对两根的性质要求，在满足这个要求的条件下，求待定字母的取值.方程的根互为相反数，则x1=-x2,即x1+x2=0;互为倒数，则x1=，即x1·x2=1，但要注意考察判别式△≥0.　　解：设方程的两根为x1, x2，　　则x1+x2=-=- 　　x1x2=　　（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，即x1+x2=-=0，∴k=0，　　当k=0时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=16>0　　∴当k=0时，方程两根互为相反数。

　（2）要使方程两根互为倒数，必须两根的积是1，即x1x2==1，解得k=4　　当k=4时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=-144<0　　∴k为任何实数，方程都没有互为倒数的两个实数根　　（3）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，即x1x2= =0，解得k=　　又当k=时，x1+x2=- ≠0，　　当k= 时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=>0，　　∴k=时，原方程有一根是零，另一根不是零　　说明：研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零，△=b2-4ac不得小于零3、根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值.例1、关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围　　解：设方程两根分别为x1, x2，　　x1+x2=3,　x1·x2=k+1　　∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2(k+1)<5　　∴k>1　　　　 ①　　又∵△=(-3)2-4(k+1)≥0　　∴k≤　　　　②　　由①②得：1

　　分析：本题是利用转化的思想将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于m的方程,就可求得m的值.　　解：∵方程有两个实数根，　　∴△=[2(m-2)]2-4×1×(m2+4)≥0　　解这个不等式，得m≤0　　设方程两根为x1, x2，　　∴x1+x2=-2(m-2)　　　 x1·x2=m2+4　　∵x12+x22-x1x2=21　　∴(x1+x2)2-3x1x2=21　　∴[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21　　整理得：m2-16m-17=0　　解得：m1=17　　 m2=-1　　又∵m≤0　　 ∴m=-1　　说明：1、求出m1=17, m2=-1后，还要注意隐含条件m≤0，舍去不合题意的m=174 求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧．例1 已知二次方程x2-3x＋1=0的两根为α，β，求：(3)；(4)α3-β3．解 由韦达定理知α+β=3，αβ=1．(3)=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)[(α+β)2-3αβ] =3(9-3)=18；(4)α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2)=(α-β)[(α+β)2-αβ]例2 设方程4x2-2x-3=0的两个根是和β，求4＋2β的值．解 因为α是方程4x2-2x-3=0的根，所以4-2α-3＝0，即4=2α＋3．4+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．5 与两根之比有关的问题 例1 如果方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根之比等于常数k，则系数a，b，c必满足：kb2=(k＋1)2ac．证 设方程的两根为x1，x2，且x1=kx2，由韦达定理由此两式消去x2得即kb2＝(k＋1)2ac．例2 已知x1，x2是一元二次方程4x2-(3m-5)x-6m2＝0解 首先，△=(3m-5)2＋96m2＞0，方程有两个实数根．由韦达定理知从上面两式中消去k，便得即 m2-6m+5=0，所以 m1=1，m2=5．6 求作新的二次方程 例 已知方程2x2-9x＋8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方．解 设x1，x2为方程2x2-9x＋8=0的两根，则设所求方程为x2+px+q=0，它的两根为x'1，x'2，据题意有故所以，求作的方程是 36x2-161x＋34=0．A组　　1．方程x2-4x+m=0的一个根是，那么另一根是（　 ）　 （A） +4　　（B）-4 （C）4-　　（D）以上答案都不对　　2．若方程x2+px+q=0的两根中只有一个根为0，那么（　 ）　 （A）p=q=0　（B）p=0, q≠0 （C）p≠0, q=0　（D）p≠0, q≠0 　　3．如果-1是方程x2+mx-1=0的一个根，那么m的值为（　 ）　 （A）-2　　　 （B）-3　　　 （C）1　　　 （D）2 　　4．以3和-2为根的一元二次方程是（　 ）　 （A）x2+x-6=0　　　 （B）x2+x+6=0 （C）x2-x-6=0　　　 （D）x2-x+6=05．两个实数根的和是3的一元二次方程是（　 ）　 （A）x2+3x-4=0　　　 （B）x2-3x+4=0 （C）x2-3x-4=0　　　 （D）x2+3x+4=0 6 ．不解方程，求方程x2-7x+5=0的两根之差。

　 （A） 　　　 （B）± 　　　 （C）－　　（D）以上都不对二、填空题：1、设、是方程的两根，则①＝ ；② ＝ ；③＝ 2、以方程的两根的倒数为根的一元二次方程是 3、已知方程的一个根是1，则它的另一个根是 ，的值是 4、反比例函数的图象经过点P（、），其中、是一元二次方程 的两根，那么点P的坐标是 三、解答题：1、证明：方程无整数根2、已知关于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值3、已知x1，x2是方程4ax2-4ax+a+4=0的两个实根．B组 1．选择：(1)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式△=b2-4ac与平方式M=(2ax0+b)2的关系是 [ ](A)△＞M (B)△=M (C)△=＜M (D)不确定(2)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，则（3）已知两圆的半径。