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2024-2025学年度八年级数学下册第08讲多边形核心考点讲与练[含答案].docx

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    • 第08讲多边形(核心考点讲与练)1.多边形(1)多边形的概念:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.(2)多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.(3)正多边形的概念:各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.(4)多边形可分为凸多边形和凹多边形,辨别凸多边形可用两种方法:①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧.②每个内角的度数均小于180°,通常所说的多边形指凸多边形.(5)重心的定义:平面图形中,多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态,此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点,或重心.常见图形的重心(1)线段:中点(2)平行四边形:对角线的交点(3)三角形:三边中线的交点(4)任意多边形.2.多边形的对角线(1)多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.(2)n边形从一个顶点出发可引出(n﹣3)条对角线.从n个顶点出发引出(n﹣3)条,而每条重复一次,所以n边形对角线的总条数为:n(n﹣3)2(n≥3,且n为整数)(3)对多边形对角线条数公:n(n﹣3)2的理解:n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线,故可连出(n﹣3)条.共有n个顶点,应为n(n﹣3)条,这样算出的数,正好多出了一倍,所以再除以2.(4)利用以上公式,求对角线条数时,直接代入边数n的值计算,而计算边数时,需利用方程思想,解方程求n.3.多边形内角与外角(1)多边形内角和定理:(n﹣2)•180°(n≥3且n为整数)此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出(n﹣3)条对角线,将n边形分割为(n﹣2)个三角形,这(n﹣2)个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和.除此方法之和还有其他几种方法,但这些方法的基本思想是一样的.即将多边形转化为三角形,这也是研究多边形问题常用的方法.(2)多边形的外角和等于360°.①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角,则n边形取n个外角,无论边数是几,其外角和永远为360°.②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论:外角和=180°n﹣(n﹣2)•180°=360°.4.平面镶嵌(密铺)(1)平面图形镶嵌的定义:用形状,大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接.彼此之间不留空隙,不重叠地铺成一片,这就是平面图形的镶嵌.(2)正多边形镶嵌有三个条件限制:①边长相等;②顶点公共;③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.判断一种或几种图形是否能够镶嵌,只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角,若能构成360°,则说明能够进行平面镶嵌,反之则不能.(3)单一正多边形的镶嵌:正三角形,正四边形,正六边形.(4)两种正多边形的镶嵌:3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等.(5)用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案.一.多边形(共2小题)1.(肇庆)如图所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则第n个图形需要黑色棋子的个数是 n2+2n .【分析】第1个图形是2×3﹣3,第2个图形是3×4﹣4,第3个图形是4×5﹣5,按照这样的规律摆下去,则第n个图形需要黑色棋子的个数是(n+1)(n+2)﹣(n+2)=n2+2n.【解答】解:第一个是1×3,第二个是2×4,第三个是3×5,…第n个是n•(n+2)=n2+2n故答案为:n2+2n.【点评】首先计算几个特殊图形,发现:数出每边上的个数,乘以边数,但各个顶点的重复了一次,应再减去.2.(宁波校级自主招生)将数字1,2,3,4,5,6,7,8分别填写到八边形ABCDEFGH的8个顶点上,并且以S1,S2,…,S8分别表示(A,B,C),(B,C,D),…,(H,A,B)8组相邻的三个顶点上的数字之和.(1)试给出一个填法,使得S1,S2,…,S8都大于或等于12;(2)请证明任何填法均不可能使得S1,S2,…,S8都大于或等于13.【分析】(1)首先确定1的位置,1最小,让它的一个相邻的数是最大的数8,再根据三个相邻的数的和应大于或等于12且各个顶点的数都不相等,进行推断;(2)首先根据八组的数的和是104,正确分析出其中至多有四组的数的和大于13,且每一组的数的和都小于或等于14;然后再进一步用设未知数的方法分析.【解答】解:(1)不难验证,如图所示填法满足.s1,s2,…s8都大于或等于12.(2)显然,每个顶点出现在全部8组3个相邻顶点组的3个组中,所以有s1+S2+…+S8=(1+2+3+…+8)•3=108.如果每组三数之和都大于或等于13,因13•8=104,所以至多有108﹣104=4个组的三数之和大于13.由此我们可得如下结论:1、相邻两组三数之和一定不相等.设前一组为(i,j,k),后一组为(j,k,l).若有i+j+k=j+k+l,则l=i,这不符合填写要求;2、每组三数之和都小于或等于14.因若有一组三数之和大于或等于15,则至多还有另外两个组,其三数之和大于13,余下5个组三数之和等于13,必有相邻的两组相等,这和上述结论(1)不符.因此,相邻两组三数之和必然为13或14.不妨假定1填在B点上,A点所填为i,C点所填为j.1、若S1=i+1+J=13,则s2=1+j+l=14,S3=j+l+k=13,因J>1,这是不可能的.2、若s1=i+1+j=14,则S2=1+j+(i﹣1)=13,S3=j+(i﹣1)+2:14,s4=(i﹣1)+2+(j﹣1)=13,这时S5=14,只能是S=2+(j﹣1)+i,i重复出现:所以不可能有使得每组三数之和均大于或等于13的填法.【点评】做此题的时候,注意各个顶点的数字不得重复,且每一组的数的和应大于或等于12进行解答.二.多边形的对角线(共4小题)3.(海曙区期末)从六边形的一个顶点出发可以作对角线(  )A.3条 B.4条 C.5条 D.6条【分析】已知多边形的边数为n(n>3时),从多边形的一个顶点出发,可以画出(n﹣3)条对角线,根据以上内容求出即可.【解答】解:从六边形的一个顶点出发,可以画出6﹣3=3条对角线,故选:A.【点评】本题考查了多边形的对角线,能熟记多边形的对角线的定义是解此题的关键.4.(邕宁区校级期中)六边形有 9 条对角线.【分析】利用多边形对角线条数公式:进行计算即可.【解答】解:==9,故答案为:9.【点评】此题主要考查了多边形的对角线,关键是掌握多边形对角线公式.5.(沙坪坝区校级期末)若过六边形的一个顶点可以画n条对角线,则n的值是(  )A.1 B.2 C.3 D.4【分析】从一个n边形一个顶点出发,可以连的对角线的条数是n﹣3.【解答】解:对角线的数量n=6﹣3=3(条);故选:C.【点评】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题,解答此类题目可以直接记忆:一个n边形一个顶点出发,可以连的对角线的条数是n﹣3.6.(砀山县期末)从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线,这个多边形的边数是 8 .【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式(n﹣3)求出边数即可得解.【解答】解:∵从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线,设多边形边数为n,∴n﹣3=5,解得n=8.故答案为8.【点评】本题考查了多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.掌握n边形从一个顶点出发可引出(n﹣3)条对角线是解题的关键.三.多边形内角与外角(共6小题)7.(宁波期末)正八边形的每个内角的度数为(  )A.120° B.135° C.140° D.144°【分析】根据多边形的外角和等于360°,求出正八边形的外角度数,进而求出.【解答】解:∵多边形的外角和等于360°,∴正八边形的外角度数为:360°÷8=45°,∴正八边形的内角度数为:180°﹣45°=135°.故选:B.【点评】本题考查了多边形内角与外角,解答本题的关键在于熟练掌握多边形的外角和等于360.8.(越城区期末)如果一个正多边形的一个内角为120°,则这个正多边形为(  )A.正五边形 B.正六边形 C.正七边形 D.正八边形【分析】一个正多边形的每个内角都相等,根据内角与外角互为邻补角,因而就可以求出外角的度数.根据任何多边形的外角和都是360度,利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数,即多边形的边数.【解答】解:外角是180﹣120=60度,360÷60=6,则这个多边形是六边形.故选:B.【点评】考查了多边形内角与外角,根据外角和的大小与多边形的边数无关,由外角和求正多边形的边数,是常见的题目,需要熟练掌握.9.(长兴县开学)如图,小丽将平放在桌面上的正五边形磁力片和正方形磁力片拼在一起(一边重合),则形成的∠ABC的度数是(  )A.120° B.135° C.150° D.162°【分析】根据多边形的内角和公式及正多边形的性质求出∠ABD=90°,∠CBD=108°,再根据周角的定义即可求解.【解答】解:如图,在正方形ABDE中,∠ABD==90°,在正五边形BDMNC中,∠CBD==108°,∴∠ABC=360°﹣∠ABD﹣∠CBD=360°﹣90°﹣108°=162°,故选:D.【点评】此题考查了多边形的内角和,熟记多边形的内角和公式是解题的关键.10.(温岭市期末)一个多边形的每一个外角都为72°,这个多边形是(  )A.五边形 B.六边形 C.八边形 D.十边形【分析】多边形的外角和是固定的360°,依此可以求出多边形的边数.【解答】解:∵一个多边形的每个外角都等于72°,∴多边形的边数为360°÷72°=5.故这个多边形的边数是5.故选:A.【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理:多边形的外角和是360°.11.(临海市期末)如图,∠1是正五边形两条对角线的夹角,则∠1= 72 度.【分析】由正五边形的性质可求得∠DBC,∠ACB的度数,再利用三角形外角的性质可求解.【解答】解:由正五边形ABCDE,可得:AB=BC=CD,∠ABC=∠BCD=108°,∴∠DBC=∠ACB==36°,∴∠1=∠DBC+∠ACB=72°.故答案为:72.【点评】本题主要考查了正多边形和圆的知识,掌握正五边形的特征是解题的关键.12.(舟山期末)已知一个正多边形的内角是140°,则它是几边形(  )A.10 B.9 C.8 D.7【分析】多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°,因为所给多边形的每个内角均相等,故又可表示成140°n,列方程可求解.此题还可以由已知条件,求出这个多边形的外角,再利用多边形的外角和定理求解.【解答】解:设正边形的边数是n,由内角和公式,得(n﹣2)×180°=n×140°.解得n=9,故选:B.【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数,解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.四.平面镶嵌(密铺)(共5小题)13.(绿园区期末)学校购买一种正多边形形状的瓷砖来铺满教室的地面,所购买的瓷砖形状不可能是(  )A.等边三角形 B.正五边形 C.正六边形 D.正方形【分析】根据一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°,进而判断得出即可.【解答】解:A、等边三角形的每个内角是60°,能整除360°,。

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