【最新教材】高中数学北师大版必修四教学案：第二章 167;2 第1课时 向量的加法 Word版含答案.doc

新教材适用·北师大版数学第1课时　向量的加法[核心必知]1．向量的加法法则三角形法则平行四边形法则作法已知向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量 叫作向量a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.已知向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形．向量叫作向量a与b的和，表示为：＝a＋b.图示2．向量求和的多边形法则向量求和的三角形法则，可推广至多个向量求和的多边形法则，n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量，即3．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c．[问题思考]1．三角形法则与平行四边形法则对两向量的起点有什么要求？提示：三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”．2．当首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，各向量的和等于什么向量？提示：零向量．讲一讲1．(1)如图已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点，求作：(2)如图，已知向量a，b，c，求作a＋b＋c.[尝试解答]　(1)①延长AC，在延长线上截取CF＝AO，则向量即为所求．②在AB上取点G，使AG＝AB，则向量即为所求．(2)在平面内任取一点O，作向量＝a，再作＝c，则＝a＋c，然后再作＝b，连接DC，于是向量＝a＋b＋c即为所求(如图所示)．1．用三角形法则作两向量的和时，要注意两向量“首尾相接”；用平行四边形法则作两向量的和时，要注意保持两向量有公共起点．2．求作共线向量或多个向量的和向量时，应首选三角形法则，注意和向量的方向是从起始向量的起点指向末尾向量的终点．练一练1．如图，已知向量a，b，c，d，求作a＋b＋c＋d.解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，以A为起点，作向量＝b，则＝a＋b；(2)以B为起点作向量＝c，再作＝d，连接OD.则向量＝a＋b＋c＋d即为所求(如图)．讲一讲2．化简下列各式：. 化简含有向量的关系式一般有两种方法：利用几何方法通过作图实现化简；利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．练一练2. 下列向量的运算结果一定是零向量的是(　　)讲一讲3．一条小船要渡过一条两岸平行的小河，河的宽度d＝100 m，船的航行速度为v1＝4 m/s，水流的速度为v2＝2 m/s，试问当船头与水流方向的夹角θ为多大时，小船行驶到对岸所用的时间最少？此时小船的实际航行速度与水流方向的夹角的正切值是多大？[尝试解答]　 设小船行驶到对岸所用的时间为t(s)，如图，设表示水流的速度，表示船的航行速度，以AD、AB为邻边作▱ABCD，则就是船实际航行的速度．设∠BAC＝α，∠BAD＝θ，则相对于垂直对岸的速度为v＝sin θ，小船行驶到对岸所用的时间为t＝＝＝＝，θ∈(0，π)．故当sin θ＝1，即θ＝90°时，小船行驶到对岸所用的时间最少，最少值为25 s.在Rt△ABC中，||＝2，||＝||＝4，tan α＝2.故当船头与水流方向的夹角为90°时，小船行驶到对岸所用的时间最少为25 s，此时小船的实际航行速度与水流方向的夹角的正切值为2.用向量解决实际应用问题，关键是把实际问题转化为向量模型，本题中小船过河所用的时间取决于合速度沿垂直于河岸的分速度，也就是船的航行速度沿垂直于沙岸的分速度，其解答思路可归结为：练一练3．如图所示，两条细绳拉一个物体，两条细绳分别用力F1，F2，且|F1|＝3 N和|F2|＝4 N，夹角为90 °.(1)作出这两条细绳的合力；(2)求合力的大小．解：(1)作＝F1，＝F2以OA、OB为邻边作▱OACB连接OC，则＝F1＋F2即为所求．(2)在Rt△OAC中，OA＝3，AC＝|F2|＝4，∴|F1＋F2|＝||＝＝5.故合力的大小为5 N.已知向量a，b的长度分别为8，2，试求|a＋b|的取值范围．[巧思]　向量a，b可能共线，也可能不共线，于是可考虑利用向量加法的三角形法则，数形结合求解．[妙解]　(1)若a，b共线，即a∥b，当a与b同向时，则|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋2＝10；当a与b反向时，则|a＋b|＝|a|－|b|＝8－2＝6.(如图所示)．(2)若a，b不共线，则向量a，b，a＋b对应的有向线段围成一个三角形，如图：由三角形的性质知，|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|，即8－2<|a|＋|b|<8＋2，∴6<|a|＋|b|＝10.故|a＋b|的取值范围为[6，10]．1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是(　　)4．设a表示向东走4 km，b表示向南走3 km，则|a＋b|＝________ km.＝＝5.答案：56．如图，D、E、F分别为△ABC三边的中点，试画出+.一、选择题1．如图，在▱ABCD中，下列结论错误的是(　　).4．下列命题①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；②在△ABC中，必有＝0；③若＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；④若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中真命题的个数为(　　)A．0 B．1C．2 D．3解析：选B　对于①②③④，若a与b方向相反，且|a|＝|b|，则a＋b＝0，零向量的方向是任意的，所以①不正确；②正确；对于③，若＝0，则A、B、C可能共线，所以③不正确；对于④，当a，b不共线或反向时，|a＋b|<|a|＋|b|，④不正确．二、填空题5．若正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，则|a＋b|＝________.解析：|a＋b|＝|＋|＝||＝.答案：6．如图，已知△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，给出下列结论：其中结论正确的是________(填所有正确结论的序号)．＝||，所以③正确；显然，④正确．答案：①②③④7．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h，渡船要垂直渡过长江，则航向为________．解析：如图，渡船速度为，水流速度为，船实际垂直过江的速度为＋＝，依题意，||＝12.5，||＝25，△BDO为直角三角形，所以sin∠BOD＝＝＝.∴∠BOD＝30°，∴航向为北偏西30°.答案：北偏西30°8．已知a、b、c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的个数为________个．解析：根据向量加法的运算律，题中5个式子与a＋b＋c均相等．答案：5三、解答题9．如图所示，O是四边形ABCD内任意一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使a＋b＝，c＋d＝，并画出b＋c和a＋d.解：(1)∵，∴a，b，c，d的方向如图所示．(2)根据平行四边形法则，以OB、OC为邻边作平行四边形OBEC，以OA、OD为邻边作平行四边形OAFD，连接OE、OF，则＝b＋c，＝a＋d，如图所示．10．在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°(如图)，当重物平衡时，求两根绳子拉力的大小．解：如图所示，作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，∴||＝||cos 30°＝×300＝150(N)．||＝||sin 30°＝×300＝150(N)．∴||＝||＝150(N)，即与铅垂线的夹角为30°的绳子的拉力是150 N，与铅垂线的夹角为60°的绳子的拉力是150 N.。