WBKL方程一般形式的精确解.docx

Whitham—Broer—Kaup—Like方程一般形式的精确解有许多方法可以获取非线性演化方程的精确解，如齐次平衡法，TANH函数方法，sub—ODE方法，exp函数方法，简单一次方程法，G’/G扩展方法和其他的一些方法这些方法可以实现部分由计算机代数系统，例如数学学报或枫树和确切解决方案是自动扣减，然而，开发新的方法，寻找更一般的非线性演化方程的精确解，分成了很多不同群体的科学家小组在本文中，我们使用最简单的解方程方法解Whitham-Broer-Kaup-Like方程：ut+uux+γux+βuxx=0，vt+uvx+αvxx-βvxx=0（1）α,β,γ∈R在上式中，α,β,γ分别代替了非线性演化方程中的几个变量，特别是当γ=1时就是Whitham-Broer-Kaup-Like方程；当α=0，γ=0时就成了这是近似长水波方程式，当α=β=1,γ=0，就是变量方程；当α=1/3,β=0,γ=1，就是它是分散性长波等式我们采用的方法中，式1是表达式的一般形式是：ut,x=i=0Mai(t,x)ui(w) ,vt,x=j=0Mbj(t,x)uj(w) (2)当函数ait,x，bjt,x以及ω=ω（t,x）和常数M、N是确定的，U=U（ω）满足一次方程 ω2U‘+U2+λωU+μ=0 （3）这里，式2的一般解答方法是将ai , bj以及ω和函数（t,x）更一般形式的精确解，而不是仅仅行波解。

式3解答如下：其中c1，c2，λ，η=12∣1-s∣1/2和s=2λ-λ2+4μ是常数本文的其余部分安排如下，第一部分，我们描述Whitham-Broer-Ka-up-Like方程一般形式的精确解以及给出Whitham-Broer-Kaup-Like方程和线性热方程之间的关系然后就WBKIEs方程具体确切的解答举例，在第二部分，得出结果1. 解WBKLEs在本节中，我们的目标是先给予的最一般形式的精确解，然后确定式（1）和热传导方程之间的关系产生更一般形式的精确解解答WBKLEs1.1．一般形式的精确解在本节中，我们的目标是在以下四个步骤解决的最一般形式的非线性演化方程（1）的精确解步骤 1：在非线性演化方程（1）中考虑最高的阶导数和非线性的齐次vxx(uxx)和非线性项uvx(vx)之间的平衡μ式中M=1，v式中N=2，因此，得到以下方程组： ut,x=a0t,x+a1t,xUω （8）vt,x=b0t,x+b1t,xUω+b2(t,x)U2(ω)在函数a0(t,x)， a1(t,x)，b0(t,x)，b1(t,x)，b2(t,x)和ω=(ω)被确定U=U(ω)满足方程（3）。

步骤2：将替代方程(8)和方程(3)一起带入式(1)中和得出所有满足条件U的值结果(1)式的左边将被转化成含U的项等于多项式的系数是零，我们为获得一套微分方程组{a0(t,x)， a1(t,x)，b0(t,x)，b1(t,x)，b2(t,x) }步骤3：解决在步骤 2 中获得的微分系统，将ω(t,x)和(λ,μ)带入{a0(t,x)， a1(t,x)，b0(t,x)，b1(t,x)，b2(t,x) }，结果如下：其中ω=ω(t,x)满足方程其中中ω=ω(t,x)满足方程其中ω=ω(t,x)满足方程：这里为得到更加一般的类型的解答方法，我们认为在ωx≠0的情况下，任何关于(10),(12),(14)解答和(9),(11)以及(13)组系数和(4)-(6)得到(8)三类确切的解答,如下 ut,x=a0t,x+a1t,xUω (15)vt,x=b0t,x+b1t,xUω+b2(t,x)U2(ω)其中i=1 时 s> 1， i=2 时 s< 1，i=3 时 s =1因此,(15)式与(1)和(10),(12),(14)之间分别建立了巴克伦变换，因为巴克伦变换，我们可以一次获得更多一般形式同时考虑非线性演化方程的精确解。

步骤 4，下面的小节中，我们通过完全解决(10),(12),(14)确定(1)式更多一般的精确解1.2.等式(1)和热方程之间的转换据观察所得，等式(10),(12),(14)可以转化称一下形式：p=ωt-τiωxx-aωx(i=1,2,3),a为任意常数，这里i=1,2,3对应(10),(12),(14)对应ω(t,x) 多元热方程： ωt=τiωxx+aωx (18)将任意常导入aωx因此，为了获得一个无限数量的精确解，我们考虑以下两种情况：在情况一中，解答(10),(12),(14)我们得到ω=exp((d2x+d3)/(t+d1)),再联立方程(1),(15),(9),(11),(13)解答如下：其中Еi(i=1,2,3,4,5,6)带入方程(9)中在以上各种情况中，Ui(ω)(i=1,2,3)满足方程(4)-(6)在情况B有趣的是，在15的形式改造已经发现式（1）和线性热传导方程（18）每个热式（18），有以下解决方案：这里A,B,C，c0和k是任意常数，φ(ξ)是可积分函数，，erf(y)是误差函数，cn，n=1,2···是方程(18)初始或边界条件给定的常数, 由于转型，我们将会获得更一般的非线性演化方程的精确解, 此外，连接提供的成积非线性发展方程与见解，例如，使用的改造，我们可以探讨的多孤子解，合理的解决办法和其他类型的非线性演化方程的解，应该特别强调，像（22）中的最后一个解决方案产生非线性演化方程包含一个任意函数，这可能给予更多的自由来解决相关问题的非线性演化方程的精确解。

1.3.精确解的一些示例1.3.1一般形式的精确解在情况B 中，代以方程(18)的解到(9),(11),(13)并且与(15)联立在i=2时，我们获得非线性演化方程的精确解（15），例如我们确实解答（uj,vi）(j=1,2,3), 非线性演化方程对应于在这第一个解决方案(22)我们有这里A,B为任意常数以及h1t,x=expx+at24τit,j=1,2,3，h2t,x=A+Bth1(t,x) 1.3.2.Muiti-soliton解答 使用式解决方案之间的连接（1）及（8）式，我们可以得到Eqs的mu1ti-soliton解答, 很容易检查，方程(18)得到的的解决方法ωt,x=A0+i=1nAiexpkix+τiki2+akit+Bi,j=1,2,3 (26)对于任意常数ki, Bi, Ai(i=0,1,···n)和正整数n，通过(15),(9),(11),(13)产生方程(1)的mu1ti-soliton解答，其中i=21.3.3. 合理的解答我们假设Eqs (18)有以下的解答方式ω(t,x)=i=0nkiXti,X=x+at (27)对于任意整数n，将(27)带入方程(18)中，设置ti(i=1,2···n)的系数从零开始。

kiX=j=12(n+1-i)ajX2n+1-1-j(2n+1-i+j！)，i=0,1····n （28）任意常数aj带入（27）中2.结论。