三角函数的对称轴.doc

y=sinx 对称轴为 x=k∏+ ∏/2 （k 为整数），对称中心为（k∏，0）（k 为整数）y=cosx 对称轴为 x=k∏（k 为整数），对称中心为（k∏+ ∏/2，0）（k 为整数）y=tanx 对称中心为（ k∏，0 ）（k 为整数），无对称轴这是要记忆的对于正弦型函数 y=Asin(ωx+Φ），令 ωx+Φ = k∏+ ∏/2 解出 x 即可求出对称轴，令 ωx+Φ = k∏ 解出的 x 就是对称中心的横坐标，纵坐标为 0若函数是 y=Asin(ωx+Φ）+ k 的形式，那此处的纵坐标为 k ）余弦型，正切型函数类似 以 f（x）＝sin （2x －π／6）为例令 2x-π/6=Kπ解得 x=kπ/2+π/12那么函数的对称中心就是（kπ/2+π/12,0)三角函数 y=Asin（ωx+φ）中的对称轴正弦函数 y=sinx 的对称轴是 x=k + （k∈Z） ，它的对称轴总是经过它图象的最高点2或者最低点由于三角函数 y= 是由正弦函数 y=sinx 复合而成的，所以令)sin(xA=k + ，就能得到 y= 的对称轴方程 x= （k∈Z） 通x2)i( 2过类比可以得到三角函数 y= 的对称轴方程 x= （k∈Z） 。

下面cosx通过几道典型例题来谈一谈如何应用它们的对称轴解题1．解析式问题例 1．设函数 = （ ） ， 图像的一条对称轴是直线)(xf )2sin0)(xf，求 的值8x分析：正弦函数 y=sinx 的对称轴是 x=k + ，令 2x+ =k + ，结合条件22求解0解析：∵ 是函数 y= 的图像的对称轴，∴ ，8x)(xf 1)8sin(∴ ，k∈Z，而 ，则 24043点评：由于对称轴都是通过函数图像的最高点或者最低点的直线，所以把对称轴的方程代入到函数解析式，函数此时可能取得最大值或最小值易错点就在于很多同学误认为由于正弦函数 y=sinx 的周期是 2k ，所以会错误的令 =2k + x22．参数问题例 2．如果函数 y＝sin2x＋acos2x 的图象关于直线 x＝－ 对称，则 a 的值为（ 8）A． B．－ C．1 D．－12分析：由于本题是选择题，所以解法多种多样，可以带入验证；也可以根据对称轴的通式求解，还可以根据最值求解。

解法一：y＝sin2x＋acos2x= sin（2x＋ ） ，其中 cos = ，sin =21a21a，21a由函数的图象关于 x=－ 对称知，函数 y＝sin2x＋acos2x 在 x=－ 处取得最大值或88最小值，∴sin（－ ）＋acos （－ ）＝± ，4421a即 （1－a）=± ，解得 a＝－1，所以应选择答案：D221点评：过函数 y=Asin（ ）图象最值点与 y 轴平行(或重合)的直线都是函数图x象的对称轴解法二：显然 a≠0，如若不然，x＝－ 就是函数 y＝sin2x 的一条对称轴，这是不可8能的，当 a≠0 时，y＝sin2x＋acos2x= ，)2cos(1)2sin12cos1(2 xaxax其中 ， ，即 tan = ，2csa2isin函数 y＝ cos（2x－ ）的图象的对称轴方程的通式为 2xk＝k ＋ （k∈Z） ，1 ∴xk＝ ，令 xk＝－ ，则 =－ ，∴ =－k － ，2k82k84∴tan ＝tan（－k － ）＝－1，4即 =－1，∴a=－1 为所求，所以应选择答案：D。

a点评：根据余弦型函数的对称轴问题，结合对应的正切值的值加以分析求解，也是一种特殊的方法解法三：∵f(x)＝sin2x＋acos2x 的图象关于直线 x＝－ 对称，8∴ ，令 x=－ ，得 ，xfxf8804ff∴sin ＋acos =sin0＋acos0，得 a＝－1，所以应选择答案： D2点评：这种解法比较巧妙，紧扣住对称性的定义，采用特殊值法代入是不可多得的一种快捷方便的解答方法3．单调区间问题例 3．在下列区间中函数 y＝sin（x＋ ）的单调增区间是（ ）4A． ［ ， ］ B． ［0， ］ C． ［－ ，0］ D． ［ ， ］2 42分析：像这类题型，常规解法都是运用 y＝Asin（ x＋ ）的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法解析：函数 y＝sin（x＋ ）的对称轴方程是： xk=k ＋ － =k ＋ （k∈Z） ，424照选择支，分别取 k＝－1、0、1，得一个递增或递减区间分别是［－ ， ］或［3， ］ ，对照选择支思考即知应选择答案：B。

45点评：一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间，可先运用对称轴方程求其一个单调区间，然后在两端分别加上周期的整数倍即得4．函数性质问题例 4．设点 P 是函数 的图象 C 的一个对称中心，若点 P 到图象 C 的对xfsin)(称轴上的距离的最小值 ，则 的最小正周期是（ ）4A．2π B．π C． D．24分析：根据正弦（或余弦）函数的图象的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于周期的性质加以转化三角函数的相关性质，从而得到正确解答41解析：设点 P 是函数 的图象 C 的一个对称中心，若点 P 到图象 C 的对xfsin)(称轴上的距离的最小值 ，而图象的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于 周期，4 41∴最小正周期为 T= ×4=π，即选择答案：B点评：三角函数的对称性与其他相应的性质是紧密相关，特别和三角函数的周期性问题、单调性问题、最值问题能息息相关，要注意加以相互转化函数 y= 的对称轴是函数的一条重要性质，要准确的理解函数图像实质)sin(xA上有无数条对称轴，它们也是有周期性的，它们的周期不是 T= ，而是 T= ，可以k2k理解为对称轴的周期是函数周期的一半。

只有准确的理解对称轴的特点，才能灵活的应用对称轴解题。