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用三筛法证明哥德巴赫猜想论 文 用三筛法证明哥德巴赫猜想 作者 河北石金楼 时间 2019年7月28日 提 要 一、三筛法理论 1、正筛法 2、倒筛法 3、双筛法 二、证明部分 1、五个定理 2、二个性质 3、埃氏定理 三筛法，是正筛法，倒筛法和双筛法的总称是古老筛法的创新和完善，属于初等数学，像一盏明灯，照亮了素数分佈领域，是解决难题的金钥匙 一、筛基式和筛法符号 给定一数N，可找出不超过的素数2、3、5、...、Pn、把这些素数叫做N的基素数，除1、2、3外，任何一个N都可以求出基素数，再求出N对每一个基素数的非负剩余后，可得到一个式子： N≡1（2），r2（3），... rn(Pn) （A） 把式子（A）叫做Ｎ的筛基式注意本文中的Ｎ，一般代表奇数例如Ｎ＝６７则基素数为２、３、５、７于是筛基式为６７≡１(２)，１(３)，２(５)，４(７)．由上可知，给定一个Ｎ≥２５可以找出其唯一的筛基式，但反过来却不一定成立读者可以自己思考 为更好使用三筛法，特引进三个符号正筛法用ZS(N)表示，倒筛法用DS(N)表示，双筛法用SS(N)表示 二、正筛法 把埃氏筛法中的消数方法稍加修改，把从Pi2开始消数改为从Pi开始消数，消去的数不再重消，而且把1也看成素数，这种筛法叫做正筛法。

例如，N=67，则ZS（67）如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 由上可得，????从2开始，2的倍数消去33个从3开始，3的倍数消去11个从5开始，5的倍数消去5个从7开始，7的倍数消去2个总的消去51个数，剩下（以后称残留）16个数 把正筛法与埃氏筛法比较可得，两种筛法思想一致，大同小异修改虽小，但却使筛法更加简单，实用和快速 下面，就是在实践中总结的“一边消数，一边生长”的树形法以例说明 N=193，基素数为2，3，5，7，11，13.树形法如下： （1）用2消1 2， （2）用3消1 3 5， （3）用5消1 7 13 19 25 5 11 17 23 19 （4）用7,11,13消 1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91 97 101 103 107 109 113 119 121 127 131 133 137 139 143 149 151 157 161 163 167 169 173 179 181 187 191 193. 由上可得，残留39个数，若加上6个基素数，再去掉1，则193以内实有44个素数。

三、倒筛法 给定N，正筛法是从1到N向右逐步消数，现改为从N到1向左逐步消数，但消数的方法与正筛法相同，这种筛法叫做倒筛法 例如，N=67，则DS(67)如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 由上可得，正筛法是从2开始消数，而倒筛法是从倒数第二数66开始消数，反向消去2的倍数33个正筛法是从3开始消数，而倒筛法是从倒数第三数65开始消数，反向消去3除余2之数11个正筛法是从5开始消数，而倒筛法是从倒数第五数63开始消数，反向消去5除余3之数5个正筛法是从7开始消数，而倒筛法是从倒数第七数61开始消数，反向消去7除余5之数2个总的消去51个数，残留16个数 若N≡ik(modPk),由于倒筛消去的，是倒数第Pk个数，正好是Xk≡ik+1(modPk). 例如，由于67三1(2), 1(3)， 2(5), 4(7).所以倒筛消去之数为X1三O（2), X2三2（3），X3三3（5），X4三5（7）。

由上可知，倒筛法之树形法如下 N=193, 由于193≡1（2），1（3），3(5),4(7),6(11),11(13),所以DS（193）如下： （1）用2消1 2， （2）用3消1 3 5， （3）用5消1 7 13 19 25 3 9 15 21 27 （4）用7,11,13消 1 3 7 13 15 21 25 27 31 33 37 43 45 51 55 57 61 63 67 73 75 81 85 87 91 93 97 103 105 111 115 117 121 123 127 133 135 141 145 147 151 153 157 163 165 171 175 177 181 183 187 193 由上可知，残留39个数，有合数，也有素数倒筛法是筛法的创新和重大突破，宅源于筛法而优于筛法，使筛法得到了大解放，极大地扩展了筛法的应用空间 四、双筛法 给定N和基素数2,3,5，...，Pn 同时对数段1至N施行正筛法和倒筛法，即双筛法 例如，N=67，则SS（67）如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 由上可知，从2开始，2的倍数消去33个。

对2来说，正筛法与倒筛法重合，只消一次以后还会有类似的情形从3开始，3的倍数消去11个接着从倒数第三数65开始，反向消去3除余2之数11个从5开始，5的倍数消去2个，接着从倒数第五数63开始，反向消去5除余3之数2个从7开始，7的倍数消去2个，接着从倒数第七数61开始，反向消去7除余5之数2个总的消去63个数，残留4个数，且有1+67=31+37=68. 和正筛法一样，双筛法也有树形法例如，N=193，由于193三1（2），1（3），3（5），4（7），6（11），11（13），所以SS（193）如下： （1）用2消1 2， （2）用3消1 3 5 （3）用5消1 7 13 19 25， （4）用7,11,13,消1 31 61 91 121 151 181 7 37 67 97 127 157 187 13 43 73 103 133 163 193 由上可得，残留11个数，且有1+193=31+163=37+157=43+151=67+127=97+97=194. 双筛法是筛法的一种升华它把单一的筛法变成了双重筛法，为研究哥德巴赫猜想开辟了道路 下面，研究双筛法的对称性 （１）在数列1、2、3、...N中，与首尾等距离之二数互补。

即1+N= 2+（N-1）=…= （N+1）+ （N+1） （２）由双筛法之定义可知，双筛法每次消去之二数即正筛法消去之M与倒筛法消去之Ｍ′，有Ｍ＋Ｍ′=Ｎ＋１. （３）由以上二点可知，双筛法之相对残留数Ｐ和P′互补 即P+P=1+N′(P′≥P) 以上三点统称为双筛法的对称性 下面研究双筛的分类： 1、纯双筛：除去2外，用其它基素数消数时，正筛法和倒筛法都不重合的双筛，叫做纯双筛 例如SS（25），SS（87），SS（165）即是 1、一般双筛：纯双筛以外的双筛都是一般双筛例如SS（29），SS（97），SS（199）即是 在所有的双筛中，由于纯双筛消去之数最多，所以残留数最少因此在证明中，多以纯双筛为例例如SS（25）=3，SS（27）=2，而SS（29）=8.相差较多 3、所有的双筛，用3来分类，可分成三类：（A）N≡0（mod3）,(B )N ≡1（mod3）,(C )N≡2（mod3）. 在每类双筛中，四除余一和四除余三的双筛，依次间隔，各占一半 在同一类双筛中，若基素数也相同，则称为同类同基双筛例如，SS（25），SS（31），SS（37），SS（43）即4个同类同基双筛。

下面，研究双筛的一些性质 定理1、若N是一个纯双筛，且N=4 L+1，L是自然数，则SS（N）≥1是一个奇数 证明：据双筛定义，第一步用2消，消去2L个偶数，残留2L+1个奇数再用3、5、…，Pn 消时，每次都是消去偶数个数，由于奇数减偶数得奇数，所以SS（N）≥1是一个奇数例如SS（9）=1，SS（25）=3， SS (9997)=191 此定理说明，若N=2P-1， P是奇素数则SS（N）必符合上述条件且有P+P=N+1.除此之外，其它所有双筛的残留数必是一个偶数例如SS（27）=2，SS（29）=8，SS（26167）=422 定理2、若N≥5，则SS（N）≠0. 证明：若N=1(2), r2(3),…,rn(Pn)， 令N′=2×3×5×…×Pn×k+N,k是自然数 把SS（N）称作小筛，把SS（N′）称作大筛注意，筛的大小是相对的 取N=157，N′=2×3×5×7×11+157=2467 由于157三1（2），1（3），2（5），3（7），3（11），则SS（157） 如下：（1）用2消1 2，（2） 用3消 1 3 5 ， （3）用5消1 7 13 19 25 （4）用7,11消 1 31 61 91 121 151 7 37 67 97 127 157 19 49 79 109 139 由于2467三1（2），1（3），2（5），3（7），3（11），10（13），…，23（47），对SS（2467）的尾部，即从2311至2467 部分也进行SS（157）的双筛，则有 2311 2341 2371 2401 2431 2461 2317 2347 2377 2407 2437 2467 2329 2359 2389 2419 2449 由上可得，小筛与大筛的尾部，都用同样的基素数消数，则消去之数与残留之数，布局完全相同。

另选一些大筛之尾部，与此同效 由上可得，若SS（N）=0，则大筛的尾部也为0，这是不可能的，因为尾部之数比小筛之数要大得多按照双筛法之消数规则，尾部之数应由此Pn大的基素数13至47去消才能得出结果，不用Pn后面的基素数参与消数就能得出结果，与双筛定义矛盾即小筛消小筛，大筛消大筛，小筛消大筛，大筛不能进行到底事实上，尾部之数，有些是新产生的大素数，有些是新产生的大合数例如2407=29X83 、2329=17X137、2449=31X79 这正好符合素数的分佈规律所以有SS（N）≠0. 1、自等性 若SS（N1）=SS（N2），则有N1=N2 证明：设P及P′为二双筛之相对残留数， 由于P+ P′= 1+N1=1+N2， 要上式成立，只有N1=N2 此性质说明，任何一个双筛都是独立的 2、相异性 若N1≠N2,则有SS（N1）≠SS（N2） 证明：由自等性可知，若SS（N1）=SS（N2）， 则N1=N2，与已知矛盾 ∴SS（N1）≠SS（N2） 由于所有的双筛都是相异的，所以可以分成二类 （1）相背双筛 若两个双筛的残留数完全不相同，则称为相背双筛例如SS（85）=﹛13、19、43、67、73﹜与SS（87）=﹛17、29、41、47、59、71﹜相背。

（2）相交双筛 若两个双筛的残留数部分相同，部分不相同，则称为相交双筛，例如SS（33）=﹛11、17、23﹜与。