2.2函数的求导法则.doc

高等数学教案 第二章 导数与微分第二章 导数与微分教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数4、 会求分段函数的导数5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数；6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数 §2. 2 函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1 如果函数u=u(x)及v=v(x)在点x具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数, 并且[u(x) ±v(x)]¢=u¢(x) ±v¢(x) ;（可以推广到有限个）[u(x)×v(x)]¢=u¢(x)v(x)+u(x)v¢(x); （可以推广到有限个）. (Cu)¢=Cu¢. 例1．y=2x 3-5x 2+3x-7, 求y¢ 解: y¢=(2x 3-5x 2+3x-7)¢= (2x 3)¢-(5x 2)¢+(3x)¢-(7)¢= 2 (x 3)¢- 5( x 2)¢+ 3( x)¢ =2×3x 2-5×2x+3=6x 2-10x+3. 例2. , 求f ¢(x)及. 解: , . 例3．y=e x (sin x+cos x), 求y¢. 解: y¢=(e x )¢(sin x+cos x)+ e x (sin x+cos x)¢ = e x (sin x+cos x)+ e x (cos x -sin x) =2e x cos x. 例4．y=tan x , 求y¢. 解: .即 (tan x)¢=sec2x . 例5．y=sec x, 求y¢. 解: =sec x tan x . 即 (sec x)¢=sec x tan x . 用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x)¢=-csc2x , (csc x)¢=-csc x cot x . 二、反函数的求导法则 定理2 如果函数x=f(y)在某区间Iy 内单调、可导且f ¢(y)¹0, 那么它的反函数y=f -1(x)在对应区间Ix={x|x=f(y), yÎIy}内也可导, 并且 . 或. 上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例6．设x=sin y, 为直接函数, 则y=arcsin x是它的反函数. 函数x=sin y在开区间内单调、可导, 且 (sin y)¢=cos y>0. 因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x=(-1, 1)内有 . 类似地有: . 例7．设x=tan y, 为直接函数, 则y=arctan x是它的反函数. 函数x=tan y在区间内单调、可导, 且 (tan y)¢=sec2 y¹0. 因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x=(-¥, +¥)内有 . 类似地有: . 例8设x=a y(a>0, a ¹1)为直接函数, 则y=loga x是它的反函数. 函数x=a y在区间I y=(-¥, +¥)内单调、可导, 且 (a y)¢=a y ln a ¹0. 因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x=(0, +¥)内有 . 到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、、的导数怎样求？ 三、复合函数的求导法则 定理3 如果u=g(x)在点x可导, 函数y=f(u)在点u=g(x)可导, 则复合函数y=f[g(x)]在点x可导, 且其导数为 或. 例9 , 求. 解 函数可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此 . 例10 , 求. 解 函数是由y=sin u , 复合而成的, 因此 . 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例11．lnsin x, 求. 解: . 例12．, 求. 解: . 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=j(v), v=y(x), 则 . （链式法则） 例13．y=lncos(e x), 求. 解: . 例14．, 求. 解: . 例15设x>0, 证明幂函数的导数公式 (x m)¢=m x m-1. 解 因为x m=(e ln x)m=e m ln x, 所以 (x m)¢=(e m ln x)¢= e m ln x×(m ln x)¢= e m ln x×m x-1=m x m-1. 四、基本求导法则与导数公式 1．基本初等函数的导数:高等数学课程建设组 25(1)(C)¢=0,(2)(xm)¢=m xm-1,(3)(sin x)¢=cos x,(4)(cos x)¢=-sin x,(5)(tan x)¢=sec2x,(6)(cot x)¢=-csc2x,(7)(sec x)¢=sec x×tan x,(8)(csc x)¢=-csc x×cot x,(9)(a x)¢=a x ln a,(10)(e x)¢=ex,(11) ,(12) ,(13) ,(14) .(15) ,(16) . 2．函数的和、差、积、商的求导法则 设u=u(x), v=v(x)都可导, 则(1)(u ±v)¢=u¢±v¢, (2)(C u)¢=C u¢,(3)(u v)¢=u¢×v+u×v¢, (4). 3．反函数的求导法则 设x=f(y)在区间Iy 内单调、可导且f ¢(y)¹0, 则它的反函数y=f -1(x)在Ix=f(Iy)内也可导, 并且 . 或. 4．复合函数的求导法则 设y=f(x), 而u=g(x)且f(u)及g(x)都可导, 则复合函数y=f[g(x)]的导数为 或y¢(x)=f ¢(u)×g¢(x). 例16. 求双曲正弦sh x的导数. 解: 因为, 所以 , 即 (sh x)¢=ch x. 类似地, 有 (ch x)¢=sh x. 例17. 求双曲正切th x的导数. 解: 因为, 所以 . 例18. 求反双曲正弦arsh x的导数. 解: 因为, 所以 . 由, 可得. 由, 可得. 类似地可得, . 例19．y=sin nx×sinn x (n为常数), 求y¢. 解: y¢=(sin nx)¢ sin n x + sin nx × (sin n x)¢ = ncos nx ×sin n x+sin nx × n × sin n-1 x ×(sin x )¢ = ncos nx ×sin n x+n sin n-1 x × cos x =n sin n-1 x × sin(n+1)x . 。