第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(一)课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC中，A＋B＋C＝π，＋＋＝.2．在Rt△ABC中，C＝，则＝sin_A，＝sin_B.3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝，这个比值是三角形外接圆的直径2R.一、选择题1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于( )A．1∶2∶3 B．2∶3∶4C．3∶4∶5 D．1∶∶2答案 D2．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )A.＋1 B．2＋1C．2 D．2＋2答案 C解析 由正弦定理＝，得＝，∴b＝2.3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为( )A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形答案 A解析 sin2A＝sin2B＋sin2C⇔(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．4．在△ABC中，若sin A>sin B，则角A与角B的大小关系为( )A．A>B B．Asin B⇔2Rsin A>2Rsin B⇔a>b⇔A>B.5．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B等于( )A．45°或135° B．60°C．45° D．135°答案 C解析 由＝得sin B＝＝＝.∵a>b，∴A>B，B<60°∴B＝45°.6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于( )A．120° B．105° C．90° D．75°答案 A解析 ∵c＝a，∴sin C＝sin A＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝，即sin C＝－cos C.∴tan C＝－.又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.二、填空题7．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则C＝_________.答案 75°解析 由正弦定理得＝，∴sin A＝.∵BC＝2bsin A，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B＝＝＝，故B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.能力提升13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．答案 解析 ∵sin B＋cos B＝sin(＋B)＝.∴sin(＋B)＝1.又0b无解一解(锐角)1.1.1 正弦定理(二)课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：＝＝＝2R的常见变形：(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；(2)＝＝＝＝2R；(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝.2．三角形面积公式：S＝absin C＝bcsin A＝casin B.一、选择题1．在△ABC中，sin A＝sin B，则△ABC是( )A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形答案 D2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形答案 B解析 由正弦定理知：＝＝，∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C.3．在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是( )A. B．(10，＋∞)C．(0,10) D.答案 D解析 ∵＝＝，∴c＝sin C.∴00)，则，解得.∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3.6．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A．1 B．2C. D．4答案 A解析 设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，得R＝1，由S△＝absin C＝＝＝，∴abc＝1.二、填空题7．在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.答案 2解析 ∵cos C＝，∴sin C＝，∴absin C＝4，∴b＝2.8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝1，则c＝________.答案 2解析 由正弦定理＝，得＝，∴sin B＝，故B＝30°或150°.由a>b，得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，由勾股定理得c＝2.9．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.答案 7解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，∴＝＝＝2R＝2，∴＋＋＝2＋1＋4＝7.10．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.答案 12 6解析 ＝＝＝12.∵S△ABC＝absin C＝×6×12sin C＝18，∴sin C＝，∴＝＝12，∴c＝6.三、解答题11．在△ABC中，求证：＝.证明 因为在△ABC中，＝＝＝2R，所以左边＝＝＝＝＝右边．所以等式成立，即＝.12．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．解 设三角形外接圆半径为R，则a2tan B＝b2tan A⇔＝⇔＝⇔sin Acos A＝sin Bcos B⇔sin 2A＝sin 2B⇔2A＝2B或2A＋2B＝π⇔A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．能力提升13．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为( )A．45° B．60° C．75° D．90°答案 C解析 设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°，∴＝＝＝＋＝＝＋，∴tan A＝1，A＝45°，C＝75°.14．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，cos ＝，求△ABC的面积S.解 cos B＝2cos2 －1＝，故B为锐角，sin B＝.所以sin A＝sin(π－B－C)＝sin＝.由正弦定理得c＝＝，所以S△ABC＝acsin B＝×2××＝.1．在△ABC中，有以下结论：(1)A＋B＋C＝π；(2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C；(3)＋＝；(4)sin ＝cos ，cos ＝sin ，tan ＝.2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．1．1.2 余弦定理(一)课时。
