透镜的位相变换作用.ppt

Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU2.6.3 透镜的一般变换特性透镜的一般变换特性2.6 透镜的透镜的FT变换性质变换性质2.6-1透镜的相位变换作用透镜的相位变换作用2.6.2 透镜的透镜的FT特性特性 Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDUØ透镜：透镜：光密介质（玻璃、塑料等）光密介质（玻璃、塑料等），，v < c Ø薄透镜：薄透镜：忽略光线在透镜内由于折射而产生的平移，忽略光线在透镜内由于折射而产生的平移，  0 0 (x,y)Ø薄透镜的作用薄透镜的作用: :若忽略吸收，仅使入射波若忽略吸收，仅使入射波前产生相位延迟，其大小正比于透镜各点的厚前产生相位延迟，其大小正比于透镜各点的厚度把透镜看成是一个相位型的衍射屏把透镜看成是一个相位型的衍射屏）） 2.6-1透镜的相位变换作用透镜的相位变换作用Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDUv光波通过透镜时产生的总相位延迟：光波通过透镜时产生的总相位延迟：其中：其中：n是透镜材料的折射率；是透镜材料的折射率； kn (x,y) 是由透镜引起的相位延迟，是由透镜引起的相位延迟，　　　　　　  (x,y) 是透镜的厚度函数，是透镜的厚度函数， k[ 0- (x,y)]是由两个平面之间剩下的自由空间区域是由两个平面之间剩下的自由空间区域引引 起的相位延迟。

起的相位延迟 v透镜的相位变换函数（复振幅透过率函数）：透镜的相位变换函数（复振幅透过率函数）： 0 (x,y)Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU设：设： 为紧贴透镜前面的光场分布，为紧贴透镜前面的光场分布，　　　　　　为紧贴透镜后面的平面上的光场复振幅分布，　　　　　　为紧贴透镜后面的平面上的光场复振幅分布，　二者之间有关系如下：　二者之间有关系如下：该式表示了透镜的作用．该式表示了透镜的作用．只要知道了只要知道了厚度函数厚度函数 (x,y) 的表示式，则的表示式，则tl(x,y)就知道了．下就知道了．下面分别用两种方法求面分别用两种方法求 (x,y)的表示式．的表示式．Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU推导方法：推导方法： 研究研究无像差、孔径无限大无像差、孔径无限大的正的正薄透镜薄透镜对点光源的成像过程如对点光源的成像过程如图所示：图所示： o1o2几何光学观点：几何光学观点：点物成点点物成点像；像；波动光学观点：波动光学观点：透镜将一透镜将一个发散球面波变换成一个个发散球面波变换成一个会聚球面波。

会聚球面波 Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU在傍轴近似下在傍轴近似下 忽略常数和常相位因子忽略常数和常相位因子f 为透镜焦距为透镜焦距Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDUv考虑到实际透镜的有限孔径大小考虑到实际透镜的有限孔径大小, 引入引入光瞳函数光瞳函数p(x,y), 透镜透镜的相位变换函数的相位变换函数(复振幅透过率函数）可写成复振幅透过率函数）可写成:v理解透镜相位变换的物理意义理解透镜相位变换的物理意义可通过考察透镜对垂直入射的单位振幅平面波可通过考察透镜对垂直入射的单位振幅平面波的效应，的效应，来来理解透镜相位变换的物理意义理解透镜相位变换的物理意义 Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU发散透镜发散透镜 f < 0-f会聚透镜会聚透镜 f > 0f第一项是常数相位延迟，第二项可理解球面波的二次曲面近似第一项是常数相位延迟，第二项可理解球面波的二次曲面近似。

Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDUØ球面透镜将平面波变换成球面波的结论球面透镜将平面波变换成球面波的结论, 在很大程度上依赖在很大程度上依赖于傍轴近似在非傍轴条件下于傍轴近似在非傍轴条件下, 即使透镜表面是理想球面，出即使透镜表面是理想球面，出射波前（波面）也将显示出对理想球面的偏离（像差）事实射波前（波面）也将显示出对理想球面的偏离（像差）事实上，常常把透镜表面磨成非球面形式，以减少出射波前对球面上，常常把透镜表面磨成非球面形式，以减少出射波前对球面的偏离，从而的偏离，从而“校正校正”透镜的透镜的像差 Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU2.6.2 透镜的透镜的FT特性特性 会聚透镜除具有成像性质外，另一个最突出和最有用的性会聚透镜除具有成像性质外，另一个最突出和最有用的性质就是它能够进行二维质就是它能够进行二维FT 正因如此，傅立叶分析方法才得以用于光学正因如此，傅立叶分析方法才得以用于光学。

下面以三种常用的光路结构形式，说明透镜的下面以三种常用的光路结构形式，说明透镜的FT性质性质 f(x,y)(u,v)物体紧靠透镜前面物体紧靠透镜前面物体在透镜前物体在透镜前f(x,y)(u,v)dof(x,y)(u,v)物体在透镜后物体在透镜后d设物体的复振幅透过率函数为设物体的复振幅透过率函数为to(x,y), 其频谱为其频谱为To(u,v).即即: To(u,v)=FT[to(x,y)]Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU（（1 1）物体紧靠透镜前）物体紧靠透镜前 f(x,y)(u,v)A略去略去exp(jkf)Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU由上式可见，后焦面的光场分布与透镜孔径所包围的那一部分由上式可见，后焦面的光场分布与透镜孔径所包围的那一部分入射光场的入射光场的FT成正比成正比 若物体尺度小于透镜孔径若物体尺度小于透镜孔径,P(x,y)可以略去可以略去;同时同时,令令A=1,可得到：可得到： To(u,v)Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU后焦面上坐标后焦面上坐标 (xf,yf)处的光场的振幅和相位，由物体中频率为处的光场的振幅和相位，由物体中频率为(u,v)的傅立叶分量的振幅和相位决定。

的傅立叶分量的振幅和相位决定 可见：后焦面上空间坐标与空间频率坐标的关系为可见：后焦面上空间坐标与空间频率坐标的关系为:注意：此时注意：此时, 积分号前有一个二次相位因子，焦平面和物面积分号前有一个二次相位因子，焦平面和物面的光场分布之间的的光场分布之间的FT不是准确的，但对强度分布不影响不是准确的，但对强度分布不影响 强度分布为强度分布为: :|To(u,v)|2Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU(2) (2) 物体位于透镜之前物体位于透镜之前 (x,y)(u,v)fAdo(xo,yo)Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDUu暂时不考虑透镜孔径的有限大小，即令暂时不考虑透镜孔径的有限大小，即令则后焦面上的光场分布为：则后焦面上的光场分布为： Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU一般情况下，一般情况下，FT前面仍有二次相位因子前面仍有二次相位因子 ，不是准确的，不是准确的FT，，但不影响强度分布。

但不影响强度分布当当 do=f 时，二次相位因子消失，为零得到准确的时，二次相位因子消失，为零得到准确的FT关系：关系：Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDUu考虑透镜孔径的有限大小考虑透镜孔径的有限大小  xoyoxfxyyfdof物体的渐晕方向余弦方向余弦空间频率成分空间频率成分Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU由于透镜孔径有限所引起的对物体大小的有效限制由于透镜孔径有限所引起的对物体大小的有效限制, 称为渐称为渐晕（晕（vignetting）效应透镜有限孔径对物面空间频率成份）效应透镜有限孔径对物面空间频率成份传播的限制成为渐晕）传播的限制成为渐晕）当物体越靠近透镜，透镜孔径比物体大越多时，物平面上的当物体越靠近透镜，透镜孔径比物体大越多时，物平面上的渐晕效应越小实际上，往往喜欢把物体放在紧贴着透镜的渐晕效应越小实际上，往往喜欢把物体放在紧贴着透镜的地方以尽量减小渐晕，但在理论分析时，一般把物体放在前地方以尽量减小渐晕，但在理论分析时，一般把物体放在前焦面上要方便些，因为这时焦面上要方便些，因为这时FT关系准确成立。

关系准确成立 Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU3．物体在透镜之后．物体在透镜之后 (x,y)(u,v)fAd(xo,yo)在傍轴近似下，投射到物体上的是一个向透镜后焦点会聚的在傍轴近似下，投射到物体上的是一个向透镜后焦点会聚的球面波球面波 入射到物体上的球面波的振幅，近似为入射到物体上的球面波的振幅，近似为Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU照明物体光波是会聚球面波照明物体光波是会聚球面波, ,在傍轴近似下，表示为：在傍轴近似下，表示为： 因为透镜孔径有限大小，物体受到照明的特定区域由光束的会因为透镜孔径有限大小，物体受到照明的特定区域由光束的会聚圆锥与物平面的交线确定聚圆锥与物平面的交线确定如果透镜是一个直径为如果透镜是一个直径为D的圆透镜，那么物平面上有一个直径的圆透镜，那么物平面上有一个直径 Dd/f 为的圆形区域被照明为的圆形区域被照明照明光斑的有限大小在数学上可以把透镜的光瞳函数沿着光束照明光斑的有限大小在数学上可以把透镜的光瞳函数沿着光束圆锥投影到物面上来表示，结果给出一个物平面上的一个有效圆锥投影到物面上来表示，结果给出一个物平面上的一个有效光瞳函数光瞳函数: xxofdInformation OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU物体所透射的光场分布为：物体所透射的光场分布为： 焦面上的光场分布为：焦面上的光场分布为： 将将ＵＵo(xo,yo) 代入，并略去常相位因子代入，并略去常相位因子exp(-jkd) , 得得:Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU此式表明此式表明: 焦平面上的振幅分布是由投影后的透镜孔径所覆焦平面上的振幅分布是由投影后的透镜孔径所覆盖的那一部分物体的盖的那一部分物体的FT. 只差一个二次相位因子。

只差一个二次相位因子 上式上式, 实质上与当物体紧靠着透镜放置时相同，只不过孔径实质上与当物体紧靠着透镜放置时相同，只不过孔径函数的取值范围产生了变化；当函数的取值范围产生了变化；当d＝＝f时，则与之完全相同时，则与之完全相同 Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU当物体孔径完全被照明，其中透镜有效孔径函数可以略去，当物体孔径完全被照明，其中透镜有效孔径函数可以略去，可得到物体可得到物体FT To(u,v)这种放置的好处是：这种放置的好处是：FT的大小尺寸可以受实验者控的大小尺寸可以受实验者控制通过改变制通过改变d，频谱区的尺寸可以改变频谱区的尺寸可以改变d  ，变换，变换的空间尺寸也变大，直到的空间尺寸也变大，直到d＝＝f ；；d  ，变换的空间尺，变换的空间尺寸也变小增加了灵活性，在空间滤波中应用寸也变小增加了灵活性，在空间滤波中应用 Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU 上面考虑透镜的上面考虑透镜的FT性质时，均假设用平面光波照性质时，均假设用平面光波照射；这相当于光源位于无穷远；射；这相当于光源位于无穷远；FT面（频谱面）均在面（频谱面）均在透镜的后焦面上（光源的共轭面上）。

透镜的后焦面上（光源的共轭面上） 若用发散球面波照明，即光源在有限远处，则在若用发散球面波照明，即光源在有限远处，则在光源的共轭面（像面）上得到物体的光源的共轭面（像面）上得到物体的FT（频谱），一（频谱），一般会相差一个常相位因子般会相差一个常相位因子 ••SS’p1q2q1p2to(xo,yo)To(u,v)t’(x’,y’)Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDUv透镜的透镜的FT特性特性(教材上得方法教材上得方法) )：： (1) 物在透镜前：物在透镜前： ••SS’pqto(xo,yo)To(u,v)(xo,yo)(x,y)(x’,y’)do(1)先写出单色点源在物平面前的光场分布，先写出单色点源在物平面前的光场分布，(2)再写出透过物面后的光场分布，再写出透过物面后的光场分布，(3)用菲涅尔衍射写出透镜前表面的光场，用菲涅尔衍射写出透镜前表面的光场，(4)再乘上透镜的相位变换函数和孔径函数，写出再乘上透镜的相位变换函数和孔径函数，写出透镜后的光场分布，透镜后的光场分布，(5)再由菲涅尔衍射得到像平面上的光场分布。

再由菲涅尔衍射得到像平面上的光场分布 步骤步骤:Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU(C)(A)(B)Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU(D)(E)(F)将将C和和E两式代入两式代入D式式, 再代入再代入F式式, 再整理得到再整理得到,当不考虑孔径大小的影响时：当不考虑孔径大小的影响时： Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU由此式可以看出：点光源共轭面上的光场分布，除二次由此式可以看出：点光源共轭面上的光场分布，除二次相位因子外，就是物函数的相位因子外，就是物函数的FT. 其中其中:(2.4.9)Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDUØ当当 p    , q = f , 即即光光源源在在无无穷穷远远, 平平行行光光入入射射时时, 上上式式变变成成:频谱面在后焦面频谱面在后焦面, 其中其中Ø当当p    , q = f , 即光源在无穷远即光源在无穷远, 平行光入射时平行光入射时; 且且 d0 = f , 即物在前焦面时即物在前焦面时, 上式变成上式变成:物体位于前焦面，在后焦面上得到准确的物体位于前焦面，在后焦面上得到准确的FT。

2.4.10)Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDUØ当当p    , q = f ,即光源在无穷远即光源在无穷远, 平行光入射时平行光入射时;且且 d0 = 0 时时, 即紧贴透镜时即紧贴透镜时, 上式变成上式变成:(2.4.11)Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU(2) 物在透镜后：物在透镜后： ••SS’pqto(xo,yo)To(u,v)(xo,yo)(x,y)(x’,y’)do(1)写出单色点源在透镜前表面的光场分布，写出单色点源在透镜前表面的光场分布，(2)写出透镜后表面的光场分布，写出透镜后表面的光场分布，(3)由菲涅尔衍射写出物面前的光场分布，由菲涅尔衍射写出物面前的光场分布，(4)物面后的光场分布，物面后的光场分布，(5)再由菲涅尔衍射得到光源在共轭面上的光场分布再由菲涅尔衍射得到光源在共轭面上的光场分布 Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU(2.4.12)(A)(B)Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU(2.4.13)(C)(D)将将 B式和式和 D式代入式代入 C式式, 再代入再代入2.4.13式式, 经整理得经整理得:To(u,v)(2.4.15)Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDUØ 当当 p    , q = f , 即即光光源源在在无无穷穷远远, 平平行行光光入入射射时时, 上上式式变变成成:Ø当当p    , q = f ,即光源在无穷远即光源在无穷远, 平行光入射时平行光入射时;且且 d0 = 0 时时, 即紧贴透镜时即紧贴透镜时, 上式变成上式变成:To(u,v)Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU(3) (3) 当考虑到透镜孔径大小影响时，有：当考虑到透镜孔径大小影响时，有： Ø物在物在透镜前透镜前: :当当p    , q = f 时时, (2.4.16)Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDUØ物在物在透镜后透镜后: :Information OpticsInstitute of Information Optics, ISE, SDU 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！。