第一章 多项式(教案).doc

高等代数北大三版第一章 多项式教学目的：1． 了解多项式的概念，多项式的运算及运算律2． 会求多项式的最大公因式及各数域上的因式分解3． 了解多项式与对称多项式的概念教学重点与难点：1． 整除理论2． 有理数域上的因式分解§1． 数域代数性质：关于数的加减乘除等运算性质 引入：关于数的范围的讨论定义：设P是一些复数组成的集合，其中包括0和1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，那么称P为一个数域另一说法： 如果包含0和1 的一个数集P，对于加减乘除（除数不为0）运算都是封闭的，那么称P为一个数域例： 1．Q R C Z W 2Z （前3个是，后3个不是） 2．R* C+ （均不是） 3．＝ 是 证明封闭 不是 4． 是重要结论： 最小数域为有理数域 （任何数域包含有理数域）§2．一元多项式一． 一元多项式的概念 定义：设是一非负整数，是一个符号（文字），形式表达式： 其中称为系数在数域P中的一元多项式数域P上的一元多项式） ① 记 ＝＝ ＝＝ ② 其中 称为的次项 为次项系数。

③ ，则为的首项 为首项系数，为的次数 ④ 所有系数均为0的多项式称为零多项式，记0 （唯一不定次数） ⑤ ＝除去系数为0的项外，同次项系数均相等注意0多项式与0次多项式的区别）二．多项式的加、减、乘运算及运算律 设＝＝ ＝＝ 补充系数为0的项，使与具有相同多的项数后 ＝ ＝＋ ，均不为0多项式算律：1．加法交换律 2． 法结合律 3． 乘法交换律 4． 乘法结合律 5． 乘法对加法的分配率 ＝6． 乘法消去律 且，则（ 则 ）三．一元多项式环的概念 所有系数在数域P中的一元多项式的全体，记 P为系数域常用数学归纳法：关于自然数的命题① 当初始值时，命题成立② 假设小于或等于时，命题成立，往证时，命题成立反证法：① 假设结论成立 ② 按照正确分析，综合方法，退出与已知或事实矛盾的结果 ③ 结论成立§3．整除的概念一．带余除法 引例 于是 商式 余式带余除法定理： 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的，存在，使成立其中或者＝0，并且与是唯一确定的。

证明：（讲解思路与方法，学生阅读）中是商式，是余式二．整除 定义：如果存在，使成立那么称整除，记做†表示不能整除① 整除时 称为因式，为倍式② 时，除的余式＝0③ 有意义且0只能整除0多项式零次多项式只能被零次多项式整除 （）性质：1 ， 为非零常数2 ，3 ，，其中是任意多项式分别证明之1详，2 3略）结论：① 与具有相同的因式与倍式，讨论时可互相替代 ② 两个多项式的整除关系不引文为系数域的扩大而改变作业：44－2（2） 3 4（2）§4．最大公因式一．最大公因式公因式：， 则称是，的一个公因式定义：对于， 若满足：① 是，的公因式② 是，的公因式，有，则称是，的一个最大公因式引理：，那么，和，有相同的公因式存在性：① ② ， ③ ，时定理：对于，，一定存在，且可表示成，的一个组合，即证： ，与，有相同的公因式 ，与，有相同的公因式 ＝ ，与，有相同的公因式 ＝ ＝又因，故有限次必可整除，即，于是是，的最大公因式又由＝－ 回推至最后即得得证。

唯一性：① 若是，的公因式，则也是为任意非零常数 ② 令取首项系数是1的最大公因式，则唯一记做 求法：辗转相除法练习：① ， ② ， 例 ，，求且表成形式解： 二．互素 定义：若 则称，是互素的 定理：存在，使得 结论：1 且 2 ，且三．最大公因式与互素概念的推广（学生阅读）作业：45－5（1）（3） 6（3） 11 12*综合除法 ① 对，是一次式时，求，例 ，，所以② 表示为（）的幂形式即，§5．因式分解定理一．不可约多项式 定义：数域上次数的多项式，如果它不能表示成数域上的两个次数比低的多项式的乘积，那么称为上的不可约多项式 ① 一次多项式总是不可约的 ② 不可约多项式依赖于数域 例在上不可约，在上可约 ③ 不可约多项式的因式 ④ 不可约多项式与任意多项式的关系性质定理：为不可约多项式，，，若或推广：，即整除其中一个二．因式分解及唯一性定理 数域上每一个次数的多项式都可以唯一地分解成上一些不可约多项式的乘积 ① 唯一性解释 ，则调整顺序后， ② 证明：（数学归纳法） ③ 理论上给出分解可行，但无一般分解方法 ④ 引入标准分解式：。

⑤ ，的标准分解式存在，可求则可写出§6．重因式一．重因式定义： 不可约多项式称为多项式的重因式，如果，而† 说明：① ，不是的因式 ② ，是的单因式 ③ ，是的重因式 ④ 若，讨论其重因式类型二．重因式的判定 准备：的微商： 基本公式：，，，例 ，的高阶微商：的微商，，一个次多项式的微商是次多项式，阶微商是一个常数，阶微商等于0定理：若不可约多项式是的重因式，则是的重因式证：是的重因式 ∴，而†，＝ ∴，又†，从而†，故是的重因式推论1：是的重因式，则是，，的因式，但不是的因式推论2：是的重因式是，的公因式推论3：没有重因式判定：① 求 （辗转相除法） ② 去掉的重数，，得到与具有相同不可约因式的但无重数的多项式§7．多项式函数 将看成函数，称为上的多项式函数有，，，÷定理（余数定理）：用去除，余式为常数，则（综合除法）根：，称为的根（零点）结论：是的根重根：是的重因式称为的重根，时单根，时重根定理：中次多项式（）在数域中的根不可能多余个（重根按重数计算）多项式函数与多项式的统一性：（不同多项式定义的函数不同）定理：若，的次数都不超过，且对个不同的数，，有相同的值，，，则。

例： 求多项式有重根的条件解 ，，求，且，令，即§8．复系数与实系数多项式的因式分解一．上 代数基本定理：每个次数的复系数多项式在复数域中有一根 ① 每个次数的多项式，在复数域上必有一个一次因式 ② 在上不可约多项式只有一次的 复系数多项式因式分解定理： 每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次多项式的乘积① 标准分解式为： ② 次复系数多项式恰有个复根二．上① 对，是复数且即为的一个复根，则也是的复根， ② 是实系数不可约多项式实系数多项式因式分解定理： 每个实系数多项式（次数）在实数域上都可以分解成（且唯一）一次因式与二次不可约因式的乘积① ② 求根，求分解式仍旧没有具体方法 作业：P46-20 22§9．有理系数多项式 问题：1 有理系数多项式的因式分解，可以分解为整系数多项式的因式分解问题，并解决有理根问题 2 有任意次数的不可约多项式问题一．本原多项式 如果非零的整系数多项式的系数 没有异于的公因子（互素），则为本原多项式 于是任意， 为有理数，为本原多项式（此种表示只差符号，是相对唯一的） 定理：（Gauss引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式。

反证法）二．因式分解 定理：如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积结论：有理多项式的分解转化为整系数多项式的分解 推论：设，是整系数多项式且是本原的，如果，其中是有理系数多项式，则是整系数的三．求整系数多项式的全部有理根的方法 定理：，是的一个有理根，且，则（首项） （常数项）（证明略）例1 求 的全部有理根 ∴的所有可能有理根为 ，经综合除法验证，为有理根例2 证明在有理数域上不可约 （反证）设可约，则有1次因式即有理根而的有理根只有经验证不是根从而不可约四．存在任意次数的不可约多项式定理（Eisenstein判别法）： 设是整系数多项式如果有一个素数，使得 ① †② ，，，③ † 那么是有理数域上不可约的反证） ① ② 均不可约. 作业：P46-28。