2016年清华大学数学金秋营试题.pdf

第 1 页 共 8 页2016 年清华大学数学金秋营试题考试时间： 2016 年 10 月 13-14 日，共 6 道题1、给定 A1A2A3及其内部一点P，设 A1A2A3，PA2A3，PA3A1，PA1A2的外接圆的圆心分别为O, O1， O2， O3， 设直线 OO1与 O2O3相交于点 M ， 试比较23MOMO与1 231PAAPAASS的大小，其中，1 23 1，PAAPAASS分别表示 PA1A2，PA3A1的面积2、 给定正整数 n， 求最大的正整数k， 使得如下命题成立： 对每个 i =1,2, .,2n,设Ai是 若 干 个 相 邻 的 整 数 构 成 的 集 合 （ 即 每 个Ai都 是 形 如1,2,.aaar的集合，其中a 是整数， r 是正整数），如果对任何1in， n+12jn都有ijAA，则存在整数x，使得集合12iin xA包含至少 k 个不同的元素3、对由有限个实数构成的集合Y，定义 （Y） 为 Y中所有元素之和yY（Y） =y给定正整数m, n与正实数12.mxxx ，设A1，A2，A n 是集合12,.mxxx的非空子集，求如下表达式11()()()nnijijijAAAA所能取到的最小值。

4、设 G是连通的简单图，所有顶点构成的集合为V，所有边构成的集合为E，称 E的子集 H为 G的“偶度子图”，如果对任何xV,H 中一共有偶数条边以x为顶点设,Vv,Ee请问 G一共有多少个“偶度子图”？，注意：E的空子集也被视为一个“偶度子图” 第 2 页 共 8 页5、 设 p 是大于 3 的素数，证明：122i0()pii除以 p 的余数或者等于1，或者等于 p-1 ，这里!()!ababab，并约定0016、 求 最 小 的 正 整 数 m， 使 得 对 任 何 整 数 A,B， 存 在 多 项 式f(x)满 足f(-2)=A,f(-3)=B,且 f(x) 的各项系数都是不超过m的非负整数第 3 页 共 8 页2016 年清华大学数学金秋营试题参考解答（仅供参考）第 4 页 共 8 页第 5 页 共 8 页第 6 页 共 8 页第 7 页 共 8 页第 8 页 共 8 页。