运筹学中的设备更新问题.doc

数学方法在管理研究中的应用运筹学中的设备更新问题［键入作者姓名］运筹学中的设备更新问题【摘 要】在日益激烈的市场竞争中， 企业生产设备的更新问题不仅在短期内直接影响到企业的综合竞争能力， 而且对企业的长远发展有着深远的影响 本文从运筹学的角度出发，就设备更新问题建立运筹学模型并运用动态规划的方法对其求解关键词】 设备更新问题；运筹学；动态规划引言一种设备(例如汽车、机床等)在使用过程中总会变旧，以至于损坏，通常，或者对旧设备进行维修，或者卖掉旧设备再买新的(更新) 在给定的年限n年内，使用该设备进行生产，设备应使用多少年后再进行更新，以使得 n年内总的纯收入最大，这就是设备更新问题一般来说，一种设备使用时间过长， 由于收入减少，维修费用增大，所以从经济上看并不合算但是，使用时间过短， 频繁更换设备也是不合算的，这类问题存在一个最佳的更新周期 这类设备更新 问题因为在计划期每年都要作出决策， 以决定是否更新设备，所以是多阶段决策问题，可以用动态规划方法求解1设备更新问题涉及的变量在讨论设备的最佳更新周期问题时，一般要考虑下面几个因素：(1) m(t)—在第k年机龄为t的一台设备运转一年带来的收入额。

显然，G(t)是t的递减函数，这是因为设备随着使用时间的增加(即机龄的增长)而变旧，因 而收入减少2) o』t)—在第k年机龄为t的一台设备所需的维修费Ok(t)是t的递增函数， 这是因为随着使用年限的增加，设备变旧，维修费用也逐渐增加3) Ck(t)—在第k年卖掉旧设备购买新设备所需款项Ck(t)是t的递增函数， 因为随着设备的老化，旧设备越不值钱，卖旧买新所需的款项越大2设备更新问题的运筹学模型若不考虑资金时间价值，求n期内使总回收额最大的设备更新方案 建立动态规划模型设阶段变量为计算期数n,即k=1,2,…,n设状态变量为设备的机龄t 0设决策变量为保留设备继续使用 K ( KEEP的缩写)还是更新设备 R(REPLACEMENT®写)两种决策设阶段效益Uk为阶段回收额，当决策为保留设备继续使用 K时，回收额为r(t) u(t);当决策为更新设备R时，回收额为s(t) po r(0) u(0)，其中r(0)、u(0)分别为机龄为0 (新设备)的阶段使用收益和使用费用设指标函数为阶段效益求和设最优值函数fk(t)为第k阶段对机龄为t的设备执行最优策略时的总回收额基本方程为:fk(t)K ：r(t) u(t) f」t 1)maxR:s(t) po r(0) u(0) fk1 ⑴当(r(t) u(t) fkQ) (s(t) po r(0) u(0) fk Q)时保留设备继续使用K,否则更新设备F。

该基本方程是一个多阶段逆序递推函数 下面通过实际问题对设备更新问题的运筹学模型及其求解过程进行直观的解释 ⑴3设备更新问题模型的求解已知一种设备在五年计划开始时，机龄为 1，在未来五年内的收入 rk(t)、运行费T—二J 第k-丰心第 k .第四年第五年前 O期2.3.4Kr匚2.丄O3-■4|5・IL /Vk r2221208627522422922624308286644IL/Vk066880568955645-8899OIL /Vk2792323437923134363132333233二3234363683ok (t)、更新费用ck (t).如下表所示试制定五年中的设备更新策略，使五年内的总收入达到最大[2]解:以年为阶段k=1,2,3,4,5 ;取k年初设备的机龄为状态变量记决策变 量則 ()1,继续使用(简记为K)记f")为第k＞年到第％年年底更新最简总收入)则动态规划基本方程是:1, ug 0mx K • rk(xQ 0") fk 侶 1)k 5 X5k()1,2,3，m，晋 R:rk(0) Ok(0) Ck(xQ fk 2)15fk3% V 划2)目< ZAI< /k /k rIKIL4 5 3 0^4 5 3 24 c.f 必 L(10。

5(1) f6(2) max欣舌細)oo(02)喩1) max4R:1r2(0)4 O5(0) C5(2) xK: r,max K • 0 需饗諭擬)劇maxmaxmaxmax max F: r205(1)斷)5,4,3,2,1maxf6⑴f6(1)K:23iFK：58 maxR: 5K：139 KR487 昨曙29 唸站6%2318us(1) 1us(2) 11汕3 (1)1148 ui(1) 1塑 29*4)4(21 131 ui ⑵ 0346 U5u(523) 101ma^imaxmama'maxmax )常)mmaxRk 1 Xi 1U1（1） 1至此，根据计算过程反推回去以可得最优更新策略如下： f1(1) max max 46u(1) 1, K；u(⑵)Oi(0R;uC：(1) 1fu412) 1；U5R)301, K［1］《运筹学》教材编写组•运筹学•北京：清华大学出版社， 2001 【2］何坚勇.运筹学基础•北京：清华大学出版社，2000。