2025年高考数学复习大题题型归纳：数列的证明和通项公式的四种求法（原卷）.pdf

第02讲 数列的证明和通项公式的四种求法考法呈现考法四：累乘法求数列的通项公式考法五:已知Sn求数列的通项公式考法六:构造法求数列的通项公式弘考法一：等差、等比数列基本量的运算例题分析【例1】已知 册 为正项等差数列，%为正项等比数列，其中2 =3,/=的，且3+1，5+3成等比数列,bi+b2+b3=13.求 册，4 的通项公式;满分秘籍-在等差数列五个基本量药，d,n,an,中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程（组）来求余下的两个量，计算时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用.等比数列中有五个量为，n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通过列方程求关键量药和q,问题可迎刃而解._ -窗变式训练【变 式 1-1 已知数列 an 是等差数列，其前n和为Sn,a3+a9=12,S9=45,数列%满足的瓦+a2b2+a 也=*2 71 -1 廿+1 +*(1)求数列 册,以 的通项公式;【变 式 1-2已知数列 an 是等差数列，%是各项均为正数的等比数列，数列%的前项和为Sn，且的=瓦=1,奥=62 +1，4=求数列%,bn 的通项公式;【变式1-3 已知正项等比数列5 的前n项和为S n，且S 3=孑画-=等差数列也 满足匕7+瓦2 =1 2 +68,a 2 b l =1.(1)求数列 册,仍 九 的通项公式；【变 式 1-4已知等差数列 册 满 足=4,2 a 4。

5=7,等比数列%满足坛=4,%+h=8 血+b2).(1)求%与 刈 的通项公式；【变 式 1-5】已知等差数列%满足O+l)a n =8/i +K 数列 b j 是 以 1 为首项，公比为3 的等比数歹！J.(1)求 0n 和%;【变 式 1-6已知&J 是等差数列，的=1，d 4 0,且内，a2,4成等比数列求数列 册 的通项公式；我考法二：等差、等比数列的证明&例题分析【例2】已知等比数列 册 的公比q an,且册+2+册=2,册+i(九C N*).(1)若数列 册+1-斯 为等差数列，求数列 册 的前n项和;(2)若数列 册+1-2 即 为等比数列，且数列 册 不为等比数列，求数列 斯 的通项公式.【变式3-3数列 斯 中，0n+i=2】+?1=2,求 an 的通项.然考法四：累乘法求数列的通项公式&例题分析【例4】已知数列 an 的前几项和为Sn,且臼=1,震 是公差为2 的等差数列.(1)求 册 的通项公式;求S满分秘籍当出现三=力时，一般用累乘法求通项.an-变式训练【变 式4-1已知数列 an,Sn为数列 an 的前n项和,且满足臼=1,3Sn=(n+2)an.(1)求 an 的通项公式；【变 式4-2在数列 册 中，a1=l,-=f 7（n2）,求0n.Z7T 十 _ L【变 式4-3已知数列 册 中，a i=l,an+1=(n e N*).(1)求数列 册 的通项公式;弘考法五：已知Sn求数列的通项公式例题分析【例5】已知数列%的前 项和为%，且%=2与-2.(1)求%的通项公式；满分秘籍通过Sn求 an.已知数列 an 前 n 项和Sn.贝！I 当 n=l 时 a 尸S in22 时 an=Sn-S(n-1)变式训练【变 式 5-1设数列 册 的前n项和为S”，且 满 足=2an-l(n e N*).(1)求数列5 的通项公式；【变 式 5-2设正项数列%的前ri 项和为Sn,成+2an=4Sn-l(n e N*).(1)求数列%的通项公式；【变 式 5-3已知数列 禺 的前n 项和S n =个,n e N*.(1)求数列%的通项公式;(2)证明：对任意几1,都有m N*,使得。

山口也成等比数歹!J.【变 式 5-4已知外是数列 册 的前几项和，=2,5九九+i+1.(1)求数列 a“的通项公式；弘考法六：构造法求数列的通项公式息.例题分析【例6】已知：的=L?1之2 时，an=1an_1+2n 1,求 an 的通项公式.满分秘籍构造法的常见类型一般有：当+l=a；2+pWO,L q W O,其中ai=a),%+i=p%+效+c(pW0,1,qWO)；2+i=p多+/(pW0,1,qWO,1).构造法的构造方法：形如当+i=aa+(a WO,1,#0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列.递推公式当+i=aa+的推广式当+i=aa+义 7(aWO,1,#0,/NO,1),两边同时除以广+1后得到一匕=,a+,转化为小+I=4 4+(3 Y y yn y Y,、l#o,D 的:通过构造公比是4 的等比数列I 二求解.变式训练【变式训练6.1】已知数列 an中，的=1,即+i=c-工.设c=,垢 求 数 列 初 九 的通项公式.C LnL dn-Z【变式训练6-2已知数列 斯 的前几项和为%,的=1,On+1=Aan+4(2为常数).(1)若2=3,求 a九 的通项公式；【变式训练6-3已知数列 册 满足的=3,a2=6,an+2=2an+1+3an,求0n真题专练1记分为数列 册 的前律项和，已知S”2n的等差中项为“.(1)求证 演+2 为等比数列;2.记5n为数列 a j 的前n项和，已知S“=(an-n)(n+1).求数列也 的通项公式;3.已知各项均为正数的数列&满足2疯=即+1,其中又是数列 an 的前项和.(1)求数列 册 的通项公式；4.已知数列 an 和 九,%=2,金-=1,0n+i=2bbn 即求证数歹哈-1 是等比数列；5.设数列 册 的前n项和为端,已 知 的=1,且数列 3-驾 是 公 比 为?的等比数歹U.求数列%的通项公式;6.已知数列 册 的前项和为Sn,且 2 s 九=3斯一 1.(1)求。

九 的通项公式；7.已知正项数列 斯 的前r i 项和为又，满足册=2店-1.求数列 册 的通项公式；8 .在等比数列 册 中，a7=8 a4,且;4，3 -4,%-12 成等差数歹！J.(1)求 册 的通项公式;9.已知数列 时 的前n项和为%,Sn=q(n+2)an,且的=1.(1)求证：数列 第 是等差数列;10.已知数列 册 的前n项和为S”，且满足Sn=2 a n-2,数列 f 是首项为1,公差为2 的等差数列.(1)分别求出数列 an,九 的通项公式；11.在等差数列 册 中，a2=4,其前n项和Sn满足Sn=/+e R).(1)求实数入的值，并求数列&J的通项公式；12 .已知公差为正数的等差数列 an 的前n项和为Sn，a 2 =3,且1，a 3,2&6+3成等比数列.(1)求 0n 和%.13 .已知数列 册 的前n项和为Sn,满足5 =|即 1.求数列5 的通项公式;14 .已知各项为正数的数列%的前n项和为Sn，满足S n+i+S n=成+i，%=2.(1)求数列 即 的通项公式;15 .已知数列 an 的前 项和为Sn(Sn 7 0),数列 Sn 的前项积为，且满足%+=S”5 N*).(1)求证：e 为等差数列；16.已知数列%的前n项和为%,且 牛=n 13.求数列%的通项公式；17.已知%为数列 册 的前n项和，ar=2,Sn=an+1-3 n-2.(1)求数列 册 的通项公式Qn；18 .设等差数列 即 的公差为d,且dl.令=，记S.T n分别为数列%，%的前n项和an(1)若 3 a 2 =3 a l +a3,S3+r3=2 1,求%的通项公式;19 .设等差数列 斯 的前n项和为%,公比是正数的等比数列 嬴 的前n项和为7，已知的=1,%=3,a3+b3=17,T3-S3=1 2,求%,b j 的通项公式.2 0 .已知数列%的首项的=5,前项和为S.,且Sn+i =2 Sn+n+5(z i e N*).(1)证明数列 即+1 是等比数列；。