第四章 内力与内力图.ppt

第四章第四章 内力与内力图内力与内力图如何定义杆件的内力？怎样用图形表示杆件的内力？如何根据外荷载迅速画出内力图？怎样用数学形式将内力函数表达出来？4.1 4.1 内力分量和符号规定内力分量和符号规定主矢主矩Fx 轴力 N N ( axial force ) Fy 剪力 Q Qy y ( shearing force )Fz 剪力 Q Qz zMx 扭矩 T T ( torque ) My 弯矩 MMy y( bending moment ) Mz 弯矩 MMz z1. 内力 ( internal force ) 的定义x xy yz zx xy yz zF Fx xx xy yz zF Fx xx xy yz zx xy yz zF Fy yx xy yz zF Fy yx xy yz zx xy yz zF Fz zx xy yz zF Fz zx xy yz zx xy yz zMMx xx xy yz zMMx xx xy yz zx xy yz zMMy yx xy yz zMMy yx xy yz zx xy yz zMMz z x xy yz zMMz z x xy yz z轴力N 扭矩T 剪力Q 弯矩M拉压 扭转 剪切 弯曲2. 内力的符号规定内力符号规定的原则：在一个横截面上，同一种内力 只能有一个符号。

轴力的正号剪力的正号弯矩的正号扭矩的正号（拉为正）4.2 4.2 截面法求内力截面法求内力 4.3 4.3 内力方程及内力图内力方程及内力图依据 杆件整体平衡时，它的任何一个局部也平衡 在杆件的任意局部区段中，所有外力与内力构成平衡力系方法1) 在指定的位置，想象用一个截面将杆件切开 留 下一部份作为研究对象，舍去另一部份舍去部份对 留下部份的作用就是内力一般可将这种内力作用的 方向假设为正内力方向 2) 留下部份的所有内力、外力（包括约束反力）按照理论力学的符号规定建立力或力矩的平衡方程式3) 求解方程即可得内力若所得内力为负值，表明实际内力方向与设想方向相反例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔 外径为 D，内径为 d，求横截面上的轴力hHhHxPx xxxxNhH例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔 外径为 D，内径为 d，求横截面上的轴力hHxPxxPxxPxxNPhHNx轴力图 hHxP例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔 外径为 D，内径为 d，求横截面上的轴力hHq ql l例 求简支梁承受均布荷载的内力方程，并画出相应的剪力图和弯矩图。

Q QMMqlql/ / 2 2qlql/ / 2 2x xx xy yx xq lql/ /2 2结论 直梁某个横截面上的剪力，其数值等于该截 面左端（或右端）全部横向力（包括支反力）的代 数和例 求简支梁承受均布荷载的内力方程，并画出相应的剪力图和弯矩图结论 直梁某个横截面上的弯矩，其数值等于该截面左端（或右端）全部力偶矩以及全部作用力（包括支 反力）对该截面矩的代数和q ql lQ QMMqlql/ / 2 2qlql/ / 2 2x xx xy yxlql/ /2 2x xMMx xQ Qqlql/ / 2 2ql ql / / 8 82 2动脑又动脑又动笔动笔将弯矩和 剪力分别对 x 求导由此你 能得到什么启 示？q ql lx xy yqlql/ / 2 2qlql/ / 2 2下列各截面上的剪力为多少？课堂练习课堂练习3kN3kN1m1m1m1m1m1m3kN3kN1m1m3kN3kN/ /mm2m2m1m1m2kNm2kNm下列各截面上的弯矩为多少 ？P Pa/a/2 2a/a/2 2P PL La/a/2 2a/a/2 2q qL Lq q下列各截面上的弯矩为多少？课堂练习课堂练习3kN3kN1m1m1m1m1m1m3kN3kN1m1m3kN3kN/ /mm2m2m1m1m2kNm2kNm2kN2kN1m1m1m1m2kNm2kNm1m1m2kN2kN1m1m1m1m0.5m0.5m1m1mP P R R a a例 计算图示四分之一圆形梁的内力。

弯矩轴力剪力课堂练习课堂练习P P R R a a计算图示四 分之一圆形 梁的内力α α4.4 4.4 梁的平衡微分方程及其应用梁的平衡微分方程及其应用q qd dx xQ +Q+d dQ QMM M+M+d dMM重要公式1 梁 ( beam ) 的平衡微分方程 ( differential equations of equilibrium )重要结论 直梁 B 截面 上的弯矩，等于 A 截面上 的弯矩与 AB 区间内剪力图的面积的代数和q qd dx xQ +Q+d dQ QMM M+M+d dMMABSS SABSA AB BP PPLPLq L qL / / 2 22 2m mm m P PPL/PL/4 4q L qL / /8 82 2m mm/m/2 2均布力 = 0Q = 0M = CQ > 0Q 0q < 0集中力 P集中力偶矩 m不 受 影 响向上跃变 P向下跃变 P向下跃变 m向上跃变 m弯 矩 图顺时针逆时针剪 力 图不 受 影 响a/a/2 2a/a/2 2q ql/ l/2 2l l/2/2PlPlP Px xQ Q P Px xMMx xQ Q3 3qaqa/ /8 8qaqa/ /8 8x xMM3 3a/a/8 8Pl/Pl/2 29 9qa qa / / 1281282 2Pl/Pl/2 22 根据外荷载画剪力弯矩图3 3qaqa/ /8 8qaqa/ /8 8P Pa/a/2 2a/a/2 2q q q q2 2a aa aqa qa 2 2qaqa/ /2 2Q Qx xqaqa/ /2 2x xMMQ Qx xx xMM3 3a/a/2 23 3qaqa/ / 2 2qaqa/ / 2 23 3qa qa / / 8 82 2qa 29 9qa / qa / 8 82 23 3qa qa / / 8 82 2qaqa/ / 2 2 3 3qaqa/ /2 2根据外荷载直接画剪力图弯矩图的要点：* 首先求出支反力及支反力偶矩。

求出之后，支反力及力偶矩便与外荷载同等看待 应从左到右依次画出连续的图线应根据荷载、剪力、弯矩之间的微分关系明确图线的走向 图形最右端的结束点应该在横轴上 注意标出图形峰点、局部极值点的数值a aa aPaPaP PP PP Pa aa axQMxMMx xx xQ Q课堂练习课堂练习P PP PP PPaPaPPPaP PPaPaPaPaMMx xMMx xx xQ Qx xQ Qa aa aq aqa2 2q aqaa aa aqaqa/ /4 43 3qa/qa/4 4qaqaqa qa / / 4 42 2qa qa / / 32322 23 3qa / qa / 4 42 2qa qa / / 2 22 2qa qa / / 2 22 2a/a/4 4qaqa/ /4 4 3 3qaqa/ /4 4例例MMx xx xQ QMMx xx xQ Qa aa aq aqa/ / 2 2qaqa/ / 2 2qaqa/ / 2 2qaqaqaqaqa qa / / 2 22 2qa qa / / 8 82 2qa qa / / 8 82 2qaqa/ / 2 2qaqa/ / 2 2q q2 2qaqaa aa a例例* 铰连接处，如果没有集中力偶矩作用，其弯矩应为零。

自由端处，如果没有集中力作用，其剪力应为零；如果没有集中力偶矩作用，其弯矩应为零加快画图速度的若干技巧* 对称结构承受对称荷载，其剪力图反对称，弯矩图对称 对称结构承受反对称荷载，其剪力图对称，弯矩图反对称q qa aa a Q Qx xx xMMqaqaqaqaqaqa/ / 2 2Q Qx xqaqa/ /2 2x xMMqaqa/ / 2 2qaqa/ /2 2qaqa/ / 2 2qa qa / / 2 22 2qa qa / / 2 22 2qa qa / / 2 22 2qa qa / / 8 82 2qaqaq qa aa aa aqaqa例P PP PP PPaPaPa/Pa/2 2Pa/Pa/2 2P/P/2 2P/P/2 2m/m/2 2a a3 3m/m/2 2P PPaPaP/P/2 2 Pa/ Pa/ 2 2P/ P/ 2 2P/ P/ 2 2P/ P/ 2 2m mm mm/m/2 2a am/m/2 2a am/m/2 2a am/m/2 2a a3 3m/m/2 2m m例a aa aa aPx xMMQ Qx x1m4kN1m2kN2m2m2m2mx xMM2.5kN2.5kN1kN1kN1kN1kN5kNm5kNm1kNm1kNm2kNm2kNm1kNm1kNmQ Qx xP Pa aa aa aa aPaPaP P P PP P2 2P P动脑又动脑又动笔动笔P PP PPaPa1.5kN1.5kN4kNm4kNm4 4kNkN1m1m2kN2kN2m2m2m2m2m2m2m2m2.5kN2.5kN1kN1kN 2.5kN2.5kNa aa aa aq aqaa aa a2 2a aq aqa2 2xQMx改错xMQ xqaqa/ /4 47 7qa/qa/4 4Q xqa/4qa/4Q xqaqa/ /4 47 7qa/qa/4 4Q Qx xxMqa / 42qa / 425qa / 42xMqa / 425qa / 42xMqa qa / / 4 42 25 5qa / qa / 4 42 23 3qa / qa / 2 22 2x xMM2 2qaqaqaqaxQqaxQqaqax xQ Qqaqaqaqaqaqaqa / 22Mxqa / 22qa / 22Mxqaqa / / 2 22 2qaqa / / 2 22 2MMx xQ Q3kN3kN1kN1kN3kN3kN1kN1kNx x2m2m2m2m4m4mx xQ Q2kN2kN3kN3kN1kN1kN1m1m2m2m1m1m根据剪力图画荷载图和弯矩图（无集中力偶矩作用 ）6kNm6kNm4kNm4kNm 4. 4.5 5kNmkNmx xMM3kN3kN4kN4kN2 2kNkN3kN3kN1kN1kN/ /mm2 2kNkN/ /mm5kN5kN1kN1kN1 1kNmkNm1.251.25kNmkNm1 1kNmkNmMMx x根据弯矩图画剪力图荷载图MM1m1m3m3m1m1m1 1kNmkNm1 1kNmkNm2kNm2kNmx xMM1m1m2m2m1m1m1 1kNmkNm3kNm3kNmx x1 1kNkN1 1kNkNQ Qx xx xQ Q2 2kNkN3kN3kN1kNm1kNm2kN2kN5kN5kN3kN3kN 3 3kNmkNm 1kNm1kNm1 1kNkN2kN2kN1 1kNkN1 1kNkN3. 简单刚架 ( frame ) 的内力图* 平面刚架的内力图应包含轴力图、剪力图和弯矩图。

画轴力图和剪力图时，以刚架外侧为正，内侧为负；弯矩图则以刚架外侧为负，内侧为正 画刚架内力图时，观察者进入刚架之内，以刚架轮廓为坐标横轴，从左到右逐段画出P Pa aa a刚 架 内 力 图P PP PN NQ QMMP P P PPaPaP PP PP PPaPaP PP PP Pa aa aP PP PN NQ QMMP P P PP PPaPaP P。