546教学一得：如何求圆锥曲线中点弦的轨迹方程.doc

教学一得：如何求圆锥曲线中点弦的轨迹方程冰儿求曲线的轨迹方程时，要仔细审题，寻找和拟定求解途径，分清解题环节，逐渐推演，综合陈述完整作答，但求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的课题之一，是代数措施研究几何问题的基本，也是高考的一种热点问题此类问题题把基本知识、措施技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体有关弦中点问题，重要有如下三种类型：过定点的弦中点轨迹；平行弦的中点轨迹；过定点且被定点平分的弦其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法等，现具体简介以上几种弦中点轨迹方程的求法一、求圆锥曲线过定点的动弦的轨迹方程其求法：（1）用直线的点斜式，当斜率存在时，设它的方程为y=k(x-x0)+y0代入F(x,y)=0中由韦达定理得x1+x2=f(k)设中点M(x,y)，则,将代入上式得G(x,y)=0当P在圆锥曲线外部时，再由直线与圆锥曲线相交的条件△>0求中点M的坐标x,y的取值范畴最后检查斜率不存在时x=x0与圆锥曲线的弦AB中点M的坐标与否满足G(x,y)=0(2)代点相减法也称“点差法”；例1，过椭圆的左焦点作弦求弦中点的轨迹方程精析：由已知能得到什么，与弦中点的轨迹方程如何转化，画出草图进行分析，谋求解答。

措施一：巧解：设过左焦点F（-1，0）的弦与椭圆相交于A、B两点设A（x1,y1），B（x2,y2）,弦中点为M（x,y）,则 ① ②由①-②整顿得 4(x1+x2)(x1-x2)+5(y1+y2)(y1-y2)=0又由于x1+x2=2x. y1+y2=2y因此 8x(x1-x2)+10(y1-y2)=0当x1≠x2时 ③由题意知 ④由③、④整顿得 当x1=x2时M(-1,0)满足上式措施二：椭圆的左焦点为F（-1，0），设焦点弦所在的直线方程为y=k(x+1)代入椭圆方程并整顿得 设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x,y),则 因此 将代入y=k(x+1)得；当k不存在时，弦中点为（-1，0）满足上述方程即 为所求的轨迹方程二、求圆锥曲线中斜率为定值的平行弦中点的轨迹方程；①运用直线的斜截式方程：设平行弦所在的方程为y=kx+m(m为参数)代入F(x,y)=0中运用韦达定理得x1+x2=f(k,m)，设中点M(x,y),则,y =kx+m,从中消去M，可得G（x,y）=0,再由直线与圆锥曲线相交的条件△>0.得M的坐标x，y的取值范畴。

②代点相减法；例2、求的斜率为k的平行弦中点M的轨迹方程解：设平行弦所在的直线方程为y=kx+m（m为参数）代入，整顿得 当 ① 即2km

∴∴直线AB的方程为y-y0=2x0(x-x0)代入得 ；由弦长公式及韦达定理得 x1+x2=2x0 x1x2=2x02-y0又∵∣AB∣=2 ∴ 即∴AB中点的轨迹方程为四、变式训练:1、已知，求满足条件的轨迹方程；（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过点A（2，1）的直线与椭圆相交，求直线被截得弦的中点轨迹方程；（3）求过点且被P平分的弦所在直线方程；解：（1）设斜率为2的直线方程为y=2x+b代入 整顿得：9x2+8bx+2b2-2=0设平行弦的端点坐标为(x1,y1)，（x2,y2）,则△ =b2-4ac=(8b)2-4×9(2b2-2)＞0 得-3＜b＜3 则 ∴ ∴（2）设与椭圆的焦点为（x1,y1）(x2,y2),弦中点为（x,y）则 ① ②由①-②整顿得 （x1+x2）(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 ③又∵ ∴ ④ 由题意知 ⑤代入④整顿得 即(3)由（2）得 x1+x2=1 y1+y2=1 代入①得 故所求的直线方程为2x+4y-3=0通过以上几例要注意某些隐含条件,若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范畴，同步注明x,y的取值范畴。

若轨迹有不同状况，应分类讨论,以保证它的完整性。