数学分析第七章.ppt

在在第第一一章章与与第第二二章章中中, , 我我们们已已经经证证明明了了实实数数集集中中的的确确界界定定理理、、单单调调有有界界定定理理并并给给出出了了柯柯西西收收敛敛准准则则. . 这这三三个个定定理理反反映映了了实实数数的的一一种种特特性性, ,这这种种特特性性称称之之为为完完备备性性. . 而而有有理理数数集集是是不不具具备备这这种种性性质质的的. . 在在本本章章中中, , 将将着着重重介介绍绍与与上上述述三三个个定定理理的的等等价价性性定定理理及及其其应应用用. .这这些定理是数学分析理论的基石些定理是数学分析理论的基石. .§7.1 关于实数集完备性的基本定理返回返回返回返回一、区间套定理与柯西收敛定理二、聚点定理与有限覆盖定理三、实数完备性基本定理的等价性定义定义1定义定义1 中的条件中的条件1 实际上等价于条件实际上等价于条件一、一、区间套定理与柯西收敛定理区间套定理与柯西收敛定理定理定理7.1(区间套定理区间套定理)或者或者证证 由定义由定义1 的条件的条件1 可知可知, 数列数列{an}递增递增, 有上界有上界b1. .所以由单调有界定理所以由单调有界定理, 可知可知 {an} 的极限存在的极限存在.从而由定义从而由定义1 的条件的条件2 可得可得因为因为 {an} 递增递增, {bn} 递减递减, 所以所以下面来证明唯一性下面来证明唯一性. 设设  1 也满足也满足设设这样就证明了这样就证明了 的存在性的存在性.返回返回证证 由区间套定理的证明可得由区间套定理的证明可得:由极限的保号性由极限的保号性, 对于任意正数对于任意正数   , 存在存在 N,则任给则任给  > 0, 存在存在 N, 当当 n   N 时时,推论推论 设设 {[an ,bn]} 是一个区间套是一个区间套,注注1 该推论有着很强的应用价值该推论有着很强的应用价值,请大家务请大家务必必牢记牢记. .注注2 区间套定理中的闭区间若改为开区间区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结那么结论不一定成立论不一定成立. 例如对于开区间列例如对于开区间列 , 显然显然即即但是定理但是定理1中的中的  是不存在的是不存在的, 这是因为这是因为证证明过程明过程, 哪一步通不过哪一步通不过?的的例例1、利用区间套定理证明柯西收敛准则。

利用区间套定理证明柯西收敛准则即证明数列即证明数列 {an} 收敛的充要条件是收敛的充要条件是: 对任意的对任意的证证 (必要性必要性)存在存在 N, ,   > 0,由定理由定理1的的推论，推论， 定义定义2 设设 S 为数轴上的非空点集为数轴上的非空点集,   为直线上的为直线上的一个定点一个定点(当然可以属于当然可以属于 S, 也可以不属于也可以不属于S). 若对若对于任意正数于任意正数   , ,在在 (  ,   + ) 中含有中含有S 的无限个的无限个点点, 二、聚点定理与有限覆盖二、聚点定理与有限覆盖定理定理则称则称  是是 S 的一个的一个聚点聚点.即即为了便于应用为了便于应用,下面介绍两个与定义下面介绍两个与定义 2 等价的定义等价的定义.定义定义2定义定义2″若存在各项互异的收敛数列若存在各项互异的收敛数列下面简单叙述一下这三个定义的等价性下面简单叙述一下这三个定义的等价性. 若设若设 S 是是 [0, 1]中的无理数全体中的无理数全体, 则则 S 的聚点的聚点集集合合 S (称为称为 S 的导集的导集) 为闭区间为闭区间 [0, 1]. 定义定义2  定义定义2 由定义直接得到由定义直接得到.定义定义2  定义定义2 因为因为 那么那么互异互异, ,并且并且定义定义2定义定义2 由极限的定义可知这是显然的由极限的定义可知这是显然的.定理定理7.2 (聚点定理聚点定理) 实数轴上的任意有界实数轴上的任意有界无限点无限点集必有聚点集必有聚点. .我们再次使用区间套定理来证明聚点定理我们再次使用区间套定理来证明聚点定理, 请务必请务必证证 因为因为S为有界点集为有界点集, 所以存在正数所以存在正数 M, 使使现将现将 [a1, b1] 等分为两个子区间等分为两个子区间 [a1, c1], [c1,b1],中至少有一中至少有一个区间个区间含有含有 S 的无限多个点的无限多个点. 记该区间为记该区间为[a2, b2].要注意在区间套的构成中所建立的性质要注意在区间套的构成中所建立的性质 (iii). .再将再将[a2, b2]等分为两个子区间等分为两个子区间. 同样至少有一个子同样至少有一个子区区间含有间含有 S 的无限多个点的无限多个点, 将这个区间记为将这个区间记为[a3, b3].(iii) 每个闭区间每个闭区间[an, bn] 均含均含S 的无限多个点的无限多个点.无限重复这个过程无限重复这个过程, 就可得到一列闭区间就可得到一列闭区间所以由所建立的性质所以由所建立的性质(iii)这就证明了这就证明了  是是 S 的一个聚点的一个聚点.定理定理7.2 有一个非常重要的推论有一个非常重要的推论( (致密性定理致密性定理).).该该定理在整个数学分析中定理在整个数学分析中, ,显得十分活跃显得十分活跃. .证证 设设{xn}为有界数列为有界数列, 若若{xn} 中有无限项相等中有无限项相等, 取取这些相等的项可成一个子列这些相等的项可成一个子列. 该子列显然是收敛该子列显然是收敛若数列若数列{xn} 不含有无限多个相等的项不含有无限多个相等的项, 则则{xn}作为作为点集是有界的点集是有界的. 由聚点原理由聚点原理, 可设可设  是是{xn} 的一个的一个推论推论(致密性定理致密性定理) 有界数列必有收敛子列有界数列必有收敛子列.的的. .收敛于收敛于   . .聚点聚点, , 那么再由定义那么再由定义 2 , ,可知可知{ xn } 中有中有一个子列一个子列 证证又因又因由极限的不等式性质由极限的不等式性质, 可得可得例例1作为致密性定理的应用作为致密性定理的应用, 我们来看下面两个例我们来看下面两个例题题. . 例例2 用致密性定理证明柯西收敛准则用致密性定理证明柯西收敛准则. 证证.下面证明下面证明 {an} 以以 A为极限为极限.因为因为 { an } 是柯西列是柯西列, 所以对于任意正数所以对于任意正数定义定义3 设设 S 为数轴上的一个点集为数轴上的一个点集, ,H为一些开区间为一些开区间则称则称 H 是是 S 的一个开覆盖的一个开覆盖.若若 H是是 S 的一个开覆盖的一个开覆盖, 并且并且H 中的元素中的元素(开区开区间间) ) 仅有有限个仅有有限个, 则称则称 H 是是 S 的一个有限开覆盖的一个有限开覆盖.一个开覆盖一个开覆盖.定理定理7.3 (海涅－博雷尔有限覆盖定理海涅－博雷尔有限覆盖定理)设设 H是闭区间是闭区间 [a, b] 的一个开覆盖的一个开覆盖, 则从则从 H 中可选中可选证证 证明该定理有多种证明该定理有多种海涅海涅( Heine,H.E. 1821-1881,德国德国 )博雷尔博雷尔( Borel,E.1871-1956, 法国法国 ) 出出有限个开区间有限个开区间, ,构成闭区间构成闭区间 [a, b] 的一个子覆盖的一个子覆盖. .要注意区间套的取法要注意区间套的取法.间套定理来证明间套定理来证明, 仍然仍然方法方法. 这里还是运用区这里还是运用区若定理不成立若定理不成立, 也就是说也就是说 [a, b]不能不能被被 H 中任何中任何再将再将 [a1, b1] 等分成两个子区间等分成两个子区间, 其中至少有一个其中至少有一个 有限个开区间所覆盖有限个开区间所覆盖. 将区间将区间[a, b]等分成两个子等分成两个子区间区间, 那么这两个子区间中至少有一个不能被那么这两个子区间中至少有一个不能被 H中任意有限个开区间所覆盖中任意有限个开区间所覆盖, 设该区间为设该区间为 [a1 , b1]. 不能被不能被 H 中有限个开区间所覆盖中有限个开区间所覆盖. 设该区间为设该区间为显然有显然有(iii) 对每一个闭区间对每一个闭区间 [an, bn], 都不能被都不能被 H 中有限个中有限个满足下列三个性质满足下列三个性质:[a2 ,b2].同样有同样有将上述过程无限进行下去将上述过程无限进行下去, 可得一列闭区间可得一列闭区间这就是说这就是说, [aN , bN] 被被 H 中的一个开区间所覆盖中的一个开区间所覆盖,开开区间所覆盖区间所覆盖.矛矛盾盾. .区间区间 (0, 1). 很明显很明显, H 中的任何有限个开区间均不中的任何有限个开区间均不 注注 定理定理7.3中的闭区间不可以改为开区中的闭区间不可以改为开区间间. .能覆盖能覆盖 (0, 1).我们已经学习了关于实数完备性的六个定理我们已经学习了关于实数完备性的六个定理, 它它三、实数完备性定理的等价性三、实数完备性定理的等价性确界定理确界定理 单调有界定理单调有界定理 区间套定理区间套定理下面证明这六个定理是等价的下面证明这六个定理是等价的. .们是们是:聚点定理聚点定理 有限覆盖定理有限覆盖定理 柯西收敛准则柯西收敛准则 柯西收敛准则柯西收敛准则 区间套定理区间套定理 聚点定理聚点定理 确界定理确界定理 有限覆盖定理有限覆盖定理 单调有界定理单调有界定理 654321例例3 用有限覆盖定理证明聚点定理用有限覆盖定理证明聚点定理.证证 设设 S 是无限有界点集是无限有界点集, 则存在则存在 M > 0, 使得使得在上图的等价性关系中在上图的等价性关系中, 仅仅 和和 尚未证尚未证明明. .这里这里46给出给出 的证明的证明, , 请大家自己阅读教材请大家自己阅读教材. .46很明显很明显, H 覆盖了闭区间覆盖了闭区间 [ – M, M]. 根据有限覆盖根据有限覆盖设开区间集设开区间集由由H 的构造的构造,所以所以矛盾矛盾.定理定理, , 存在存在 H 中的有限子覆盖中的有限子覆盖§7.2 闭区间上连续函数的性质　实数完备性理论的一个重要作用就是证一、最大、最小值定理经在第四章给出过. 明闭区间上连续函数的性质，这些性质曾 三、一致连续性定理二、介值性定理返回返回返回返回首先来看一个常用的定理首先来看一个常用的定理.有界性定理有界性定理 若若 f (x) 在闭区间在闭区间 [a, b] 上连续上连续, 则则 f (x)证证 用两种方法给出证明用两种方法给出证明.第一种方法第一种方法 使用有限覆盖定理使用有限覆盖定理. 因为因为 f (x) 在在 [a, b]一、最大、最小值定理一、最大、最小值定理局部有界的性质化为整体有界性质局部有界的性质化为整体有界性质.上每一点连续上每一点连续, 从而局部有界从而局部有界. 我们的任务就是将我们的任务就是将 H 覆盖了闭区间覆盖了闭区间[a, b]. 由有限覆盖定理由有限覆盖定理, 在在 H 中存中存显然显然在有限个开区间在有限个开区间第二种证法第二种证法 采用致密性定理采用致密性定理.因为因为{xn} 有界有界, 从而存在一个收敛的子列从而存在一个收敛的子列. 为了书为了书写方便写方便, 不妨假设不妨假设 {xn} 自身收敛自身收敛, 令令设设 f (x) 在在[a, b]上无界上无界, 不妨设不妨设 f (x)无上界无上界. 则存在则存在 故由归结原理可得故由归结原理可得 矛盾矛盾.最大、最小值定理最大、最小值定理(定理定理4.6) 若函数若函数 f (x) 在在[a, b] 证证 f (x) 在在 [a, b] 上连续上连续, 因而有界因而有界. 由确界定理由确界定理, f (x) 在在 [a, b] 上的值域有上确界上的值域有上确界. 设设上连续上连续, 则则 f (x) 在在 [a, b] 上取最大、最小值上取最大、最小值. 在在[a, b] 上连续上连续, 从而有界从而有界, 故存在故存在 G > 0, 使使 这样就有这样就有 这与这与 M 是是 f (x) 在在 [a, b] 上的上确界矛盾上的上确界矛盾.这就证明了上确界这就证明了上确界 M 与下确界与下确界 m 都是可取到的都是可取到的, 同理可证同理可证:下确界下确界也属于也属于 f ([a, b]).最小值最小值. 这也就是说这也就是说, M 与与 m 是是 f (x) 在在[a, b]上的最大、上的最大、(定理定理4.7) 设函数设函数 f (x) 在闭区间在闭区间 [a, b]上连续上连续, 且且 证证 在第四章中在第四章中, 我们已经用确界定理证明此定理我们已经用确界定理证明此定理.现在用区间套定理来证明现在用区间套定理来证明.二、介值性定理二、介值性定理f (a)   f (b).将将 [a, b] 等分成两个区间等分成两个区间 [a, c], [c, b], 若若 F(c)=0, 下去下去, 得到一列闭子区间得到一列闭子区间 个区间的端点上的值异号个区间的端点上的值异号. 将这个过程无限进行将这个过程无限进行F(c1) = 0, 已证已证. 不然同样可知函数不然同样可知函数 F(x) 在其中一在其中一将将 [a1 , b1] 等分成两个区间等分成两个区间 [a1, c1], [c1 , b1], 若若 间端点上的值异号间端点上的值异号, 将这个区间记为将这个区间记为[a1, b1]. 再再 已证已证. 不然不然, 函数函数 F(x)在这两个区间中有一个区在这两个区间中有一个区 由区间套定理由区间套定理, 存在惟一的存在惟一的{ [an , bn] }, 满足满足:(定理定理4.9) 若函数若函数 f (x) 在在 [a ,b]上连续上连续, 则则 f (x) 在在 证证 (证法一证法一) 首先用致密性定理来证明该定理首先用致密性定理来证明该定理. 在在 设设 f (x) 在在 [a, b] 上不一致连续上不一致连续, 即存在即存在三、一致连续性定理三、一致连续性定理[a, b] 上一致连续上一致连续. 究究. 下述证明过程中下述证明过程中, 选子列的方法值得大家仔细探选子列的方法值得大家仔细探 现分别取现分别取……因为因为 {x'n} 有界有界, 从而由致密性定理从而由致密性定理, 存在存在 {x'n} 的的因为因为所以由极限的不等式性质所以由极限的不等式性质连续连续, 所以由归结原理得到所以由归结原理得到矛盾矛盾.(证法二证法二) 再用有限覆盖定理来证明再用有限覆盖定理来证明.以及以及 f考虑开区间集考虑开区间集 那么那么 H 是是 [a, b] 的一个开覆盖的一个开覆盖. 由有限覆盖定理由有限覆盖定理, 因因 f (x) 在在 [a, b] 上连续上连续, 对任意一点对任意一点存在有限个开区间存在有限个开区间 对于任何对于任何那么那么必属于上述必属于上述 n 个小区间中的个小区间中的 一个一个,也覆盖了也覆盖了 [a, b].所以由小区间的定义得知所以由小区间的定义得知这就证明了这就证明了在在[a, b]上的一致连续性上的一致连续性.*§7.3 上极限和下极限数列的上极限与下极限是非常有用的概念, 通过 一、上(下)极限的基本概念程来说, 上(下)极限也是不可缺少的工具.极限或下极限来解决问题. 此外, 对于不少后继课考虑的某些数列不存在极限的情形, 那时需要用上册第十二、十四章讨论级数收敛性时, 常会遇到所它们可得出数列极限存在的另一个充要条件. 在下二、上(下)极限的基本性质返回返回返回返回一、上一、上(下下)极限极限的基本概念的基本概念注注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于: 定义定义1 若数列若数列满足满足: 在数在数的任何一个邻的任何一个邻域域内均含有内均含有 中的中的无限多项无限多项, 则称则称 x0 是数列是数列常数列常数列只有一个聚点只有一个聚点: a . 的一个聚点的一个聚点. 限多个项限多个项”. 现举例如下现举例如下: 前者要求前者要求 “含有无限多个点含有无限多个点”, 后者要求后者要求 “含有无含有无 定理定理7.4 有界数列至少存在一个聚点有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大并且有最大 但作为数列但作为数列来说来说, 它却有两个聚点它却有两个聚点:有五有五个聚点个聚点:数列数列从数列聚点的定义不难看出从数列聚点的定义不难看出, x0 是数列是数列 的的聚聚 作为点集来说它仅有两个点作为点集来说它仅有两个点, 故没有聚点故没有聚点; 点点的一个充要条件是的一个充要条件是: 存在存在 的一个子列的一个子列聚点聚点和和最小聚点最小聚点. . 又设又设由于由于 E 非空有界非空有界, 故由确界原理故由确界原理, 存在存在下面证明下面证明是是 { xn } 的最大聚点的最大聚点, 亦即亦即证证 设设为有界数列为有界数列, 由致密性定理由致密性定理, 存在一个存在一个 的一个聚点的一个聚点.收敛子列收敛子列于是于是首先首先, 由上确界的性质由上确界的性质, 存在存在使使存在存在使使存在存在使使的无限多项的无限多项. 现依次令现依次令 存在存在使使因为因为是是的聚点的聚点, , 所以对任意正数所以对任意正数 在区间在区间 这样就得到了这样就得到了 { xn } 的一个子列　　　满足的一个子列　　　满足:同理可证同理可证定义定义 2 有界数列有界数列的最大聚点的最大聚点与最小聚点与最小聚点 分别称为分别称为的上、下极限的上、下极限, 记为记为 即证得即证得注注 由定理由定理 7.4 得知得知, 有界数列必有上有界数列必有上、、下极限下极限. 提供了一个新的平台提供了一个新的平台. 的上的上、、下极限总是存在的下极限总是存在的, 这为研究数列的性质这为研究数列的性质 极限来研究该数列往往是徒劳的极限来研究该数列往往是徒劳的; 但是有界数列但是有界数列 数列若有界数列若有界, 它的极限可以不存在它的极限可以不存在, 此时想通过此时想通过 这样这样, 上上、、下极限的优越性就显现出来了下极限的优越性就显现出来了: 一个一个 例例1 考察以下两个数列的上考察以下两个数列的上、下极限、下极限: :从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限之间存在着的内在联系之间存在着的内在联系. . 详细讨论请见下文详细讨论请见下文. . 二、上上(下下)极限极限的基本性质的基本性质由上由上、、下极限的定义下极限的定义, 立即得出立即得出:定理定理7.5 对任何有界数列对任何有界数列有有 下面这个定理刻画了极限与上下面这个定理刻画了极限与上、、下极限之间的关下极限之间的关系系.定理定理7.6有界数列有界数列存在极限的充要条件是存在极限的充要条件是:(1)(2)证证设设对于任意正数对于任意正数在在之外之外 只有只有有限项有限项. 这样这样, 对任意的对任意的 若若 只有有限项只有有限项. 这就是说这就是说, B不是不是 的聚点的聚点, 故故 仅有一个聚点仅有一个聚点 A, 从而从而那么在那么在内内( 此时必此时必取取反之反之, 若上式成立若上式成立, 则则 的聚点惟一的聚点惟一 (设为设为 A) , 一的假设相矛盾一的假设相矛盾. .另一聚点另一聚点, , 导致与聚点惟导致与聚点惟 性定理性定理, , 这无限多项必有这无限多项必有 的无限多项的无限多项. . 由致密由致密 之外含有之外含有使得在使得在倘若不然倘若不然, ,则存在则存在 此时易证此时易证定理定理7.7设设为有界数列为有界数列, 则有则有的充要条件是的充要条件是: 对于任意的对于任意的(i) 存在存在 N, 当当 n > N 时时, 的充要条件是的充要条件是: 对于任意的对于任意的(i) 存在存在 N, 当当 n > N 时时, 证证 在形式上是对称的在形式上是对称的, 所以仅证明所以仅证明 .必要性必要性 设设因为因为 A 是是的一个的一个聚点聚点, ,使得使得所以存在所以存在故对于任故对于任意的意的 存在存在 当当 k > K 时，时，将将中的前面中的前面 K 项剔除项剔除, 这样就证明了这样就证明了(ii). 上上, 至多只含至多只含的有限项的有限项. 不然的不然的 话话, 因为因为有界有界, 故故在在 上上还有聚点还有聚点, 这与这与 A 是最大聚点相矛盾是最大聚点相矛盾. 设这有限项设这有限项 又因又因 A 是是的最大聚点的最大聚点, 所以对上述所以对上述 在区间在区间, 的最大下标为的最大下标为 N, 那么当那么当 n > N 时时,充分性充分性 任给任给综合综合 (i) 和和 (ii), 在在上含有上含有 { xn } 的无限项的无限项, 即即 A 是是 { xn } 的聚点的聚点. .而对于任意的而对于任意的这说明在这说明在定理定理7.8 (保不等式性保不等式性)设设 { xn }, { yn } 均为有界数均为有界数{ xn } 的有限项的有限项, 故故 不是不是 { xn } 的的上也上也至多只有至多只有从而有从而有聚点聚点, ,所以所以 A 是是 的最大聚点的最大聚点 .列列, ,并且满足并且满足: : 存在存在当当 n > N0 时时, , 有有则取上则取上(下下)极限后极限后, 原来的不等号方向保持不变原来的不等号方向保持不变:证证 设设因为因为 B 是是 { yn } 的的聚聚点点, 所以存在所以存在 , 特别若特别若 则更有则更有故存在故存在 的一个收敛子列的一个收敛子列 ,(3)(4)同理可证关于上极限的不等式同理可证关于上极限的不等式; 而而 (4) 式则可由式则可由又因又因 (1) 与与 (3) 式直接推得式直接推得. 的最小聚点的最小聚点 A 理应理应满足满足的聚点的聚点, , 它与它与也也是是. . 由于由于的极限的极限, ,便得便得取取证证 这里这里只证明只证明 (i) , (ii) 可同理证明可同理证明. 设设由定理由定理7.7, 存在存在 N, 当当 n > N 时时,(5)(6)例例1都是有界数列都是有界数列, 那么那么设设再由定理再由定理 7.8 的的 (4) 式式, 得得因为因为 是任意的是任意的, 故故注注 这里严格不等的情形确实会发生这里严格不等的情形确实会发生, 例如例如故故例例2 设设 , 且且求证求证 的全体聚点的集合为的全体聚点的集合为证证 设设 E 是是 的全体聚点的集合的全体聚点的集合, 显然有显然有内仅含内仅含 的有限的有限项项:在在任给任给 , 欲证欲证 如若不然如若不然, 则存在则存在之内之内. 又因又因 所以存在所以存在这就是说这就是说, 当当 时时, 所有的所有的 均不在均不在当当 n > K 时时, 由由 (7) 导致所有导致所有的的 或者都有或者都有 或者都有或者都有前者与前者与 B 是是 的聚的聚点矛盾点矛盾; 后者与后者与 A 是是 的聚点矛盾的聚点矛盾. 故证得故证得 , 即即 从而从而定理定理7.9 设设 { xn } 为有界数列为有界数列. 则有则有(i) A 是是 { xn } 的上极限的充要条件是的上极限的充要条件是(ii) B 是是 { xn } 的下极限的充要条件是的下极限的充要条件是证证 这里仅证这里仅证 (i). 设设 , 显然显然 是一是一(8)(9)递减数列递减数列, 并且有界并且有界, 一方面一方面, 因为因为 另一方面另一方面, , 由于由于根根 据上确界定义据上确界定义, ,又因又因所以有所以有同理同理, , 由于由于 这样得到的子列这样得到的子列 因仍为有界的因仍为有界的, ,故其上极限故其上极限因因 是任意的是任意的, 所以又得所以又得 . 从而证得从而证得照此做下去照此做下去, ,可求得可求得 使使使得使得求上极限求上极限, 由不等式性质由不等式性质 (4), 得出得出亦存在亦存在, , 设为设为 (10) 式关于式关于 k例例3 3 用上、下极限证明用上、下极限证明: 若若 为有界发散数列为有界发散数列,注注 本例命题用现在这种证法本例命题用现在这种证法, ,可以说是最简捷的可以说是最简捷的. . 使得使得 为为 于是存在于是存在 的两个子列的两个子列 证证 由定理由定理7.6 , 有界数列有界数列 发散的充要条件发散的充要条件 则存在则存在 的两个子列的两个子列, , 收敛于不同的极限收敛于不同的极限. . 例例4 证明证明: 对任何有界数列对任何有界数列 有有(11)(12)证证 根据定理根据定理7.9 的的 (8) 与与 (9), 可得可得若能证明若能证明 便不难得出结果便不难得出结果. .分析分析 将将 (11) 式改写为式改写为把它用于把它用于 (12) 式式, 并利用例并利用例1 的结论的结论 (6), 便有便有这也就证明了这也就证明了 (11) 式式.复习思考题种定义方式各有哪些特点种定义方式各有哪些特点? ?试从直观性、应用的方便性等方面试从直观性、应用的方便性等方面, , 分析这三分析这三它们的充要条件它们的充要条件( 定理定理7.7 与定理与定理7.9 ) 来定义来定义.数列的上、下极限数列的上、下极限, , 除用定义除用定义2 定义外定义外, 也可用也可用。