宁夏12-13学年高二上学期期中考试数学理试题.pdf

银川一中 2012/2013 学年度 ( 上) 高二期中考试数 学 试 卷(理科)命题人 ：张金荣、周天佐一．单选题（每小题5 分，共 60 分，其中只有一个答案是正确）1. “02xx”是“1x”的 ( ）A．充分而不必要条件B.必要而不充分条件C．充要条件 D.既不充分也不必要条件2．已知命题p： ?x∈R，x>sinx，则p的否定形式为 ( ) A ． ?x∈R，x1”是“x>2”的充分不必要条件7. 已知等差数列{an}满足 a2+a4=4, a3+a5=10, 则它的前10 项和为（）A．138 B．135 C．95 D．23 8．已知椭圆的两个焦点坐标分别为（0，-2 ） ， （0，2） ，并且经过点) 25, 23(，则椭圆的方程是( ) A ．1 4922yxB．1 9422yxC ．1 61022yxD．1 10622yx9．已知 x>0, y>0,128xy, 则 x+y 的最小值为 ( ) A.6 B.12 C.18 D.24 10. 在R上定义运算：(1)xyxy，若不等式1)()(axax对任意实数x 成立，则a的取值范围为（）A．11aB．20aC． 2123aD． 2321a11．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△ F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．22B．212C．22D．2112．各项均不为零的等差数列n{a}中2 nn1n1aaa0(nN*, n2)，则2012S等于（）A．4024 B．4018 C．2009 D． 1006 二. 填空题（每小题5 分，共 20 分）13. 若,1a则 11aa的最小值是 _________.14．在公差不为0 的等差数列431,,,}{aaaan中成等比数列，则该等比数列的公比 . 15． 已知0,0xy， 且211 xy， 若222xymm恒成立，则实数 m 的取值范围是 ______.16．过椭圆1 4522yx的右焦点作一条斜率为2 的直线与椭圆交于A、 B两点， O为坐标原点，求弦 AB的长 _______.三. 解答题 (6 道题，共70 分) 17． （本小题满分10 分）已知点 A（3，0）为圆 x2+y2=1 外一点， P为圆上任意一点，若AP的中点为M ，当 P 在圆上运动时，求点M的轨迹方程。

并说明它表示什么曲线18． （本小题满分12 分）已知命题p： “?x∈ [1,2] ，x2－a≥0” ，命题q： “ ?x0∈R，x2 0＋2ax0＋2－a＝0” ，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．19． （本小题满分12 分）动物园要围成面积相同的长方形虎笼四间，一面可利用墙原有的墙，其它各面用钢筋网围成. （1）现有可围36m长的钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？（2）若使每间虎笼的面积为24m2, 则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？20． （本小题满分12 分）等比数列 {an}的各项均为正数，且212326231,9aaaa a1）求数列{}na的通项公式；（2）设31323logloglognnbaaa，求数列1nb的前 n 项和．21．( 本小题满分12 分) 设 {an} 是正数组成的数列，其前 n 项和为 Sn，并且对于所有的nN+，都有2)2(8nnaS1）写出数列 {an}的前 3 项；（2）求数列 {an}的通项公式 ( 写出推证过程) ；（3）设14nnnaab，nT是数列 {bn}的前 n 项和，求使得 20mTn对所有 nN+都成立的最小正整数 m 的值。

22． （本小题满分12 分）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为32的椭圆过点（2，22） ．（ 1）求椭圆的方程；（ 2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．2012 高二数学（理）期中试题参考答案：一． BCCDA ，BCDCD ，DA 二． 13．3 14 2115 （-4，2）16 35517． （10 分） 41) 23(22yx18． （12 分） 解： 由“p 且 q” 是真命题，则p 为真命题， q 也为真命题．若 p 为真命题， a≤x2恒成立，∵ x∈[1,2]，∴a≤1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分若 q 为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝ 0 有实根，Δ ＝4a2－4(2－a)≥0，即 a≥1 或 a≤－2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分综上，实数a 的取值范围为a≤－2 或 a＝1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分19. （12 分）解： （ 1）设每间虎笼的长xm,宽 ym, 则 4x+6y=36,设每间虎笼面积为S ，则 S=xy 18=2x+3y≥ 2xyyx6232, xy ≤ 227, 当 且 仅 当2x=3y时 ， 等 号 成 立 ，2x+3y=18,x=4.5m ,y=3m时，等号成立。

故每间虎笼的长和宽分别为4.5m 和 3m时，可使面积最大⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（2）设每间虎笼长为xm,宽为 ym, S=xy=24, x= y24, L=4x+6y=481626)16(6696y yy y,当且仅当y y16，y=4,x=6 故每间虎笼长6m,宽 4m时，可使钢筋网总长最小⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分20． （12 分） （1）1() 3nna⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（2）21nn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分21.（12 分）解 :(1) n=1时2118(2 )aa∴12an=2 时21228()(2)aaa∴26an=3 时212338()(2)aaaa∴310a,,,,4 分(2) ∵28(2)nnSa∴2118(2)(1)nnSan两式相减得 : 2218(2)(2)nnnaaa即2211440nnnnaaaa也即11()(4)0nnnnaaaa∵0na∴14nnaa即{}na是首项为2, 公差为 4 的等差数列∴2(1)442nann 8 分(3)1441111() (42)(42)(21)(21)2(21)(21)nnnb aannnnnn∴12111111 [(1)()()] 2335(21)(21)nnTbbb nn11111(1) 2212422nn∵ 20nmT对所有nN都成立∴1202m即10m故 m的最小值是10 . ,,,,12 分22． （12 分）解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为22221xyab（a＞b＞0） ，则223 , 221 1, 2caab故2,1ab，所以，椭圆方程为221 4x y．,,,6 分（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y＝kx＋m （m≠0） ，P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，由22,440,ykxmxy消去 y 得（ 1＋4k2）x2＋8kmx＋4（m2－1）＝ 0，则△＝ 64 k2b2－16（ 1＋4k2b2） （ b2－1）＝ 16（4k2－ m2＋1）＞ 0，且122814km xx k，21224(1)14m x x k．,,,,,8 分故 y1 y2＝（ kx1＋m） （kx2＋m）＝ k2x1x2＋km（x1＋x2）＋ m2．因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以，1212yyxx＝22121212()kx xkmxxmx x＝k2，即，222814kmk＋m2＝0，又 m≠0，所以k2＝14，即k＝12．x y O (第 22 题) P Q 由于直线OP，OQ 的斜率存在，且△＞0，得 0＜m2＜2 且 m2≠1．设 d 为点 O 到直线 l 的距离，则 S△OPQ＝12d | PQ | ＝12| x1－x2 | | m | ＝22(2)mm，所以S△OPQ的取值范围为（0，1） ．,,,,,12 分() 。