泛函分析报告.docx

目录对泛函剖析的认识 - 1 -概论 - 1 -拓扑线性空间 - 1 -巴拿赫空间Banaih - 1 -希尔伯特空间( Hilbert ) - 1 -算子 - 2 -线性算子和线性泛函 - 2 -非线性算子 - 2 -选择公义 - 2 -历史简介 - 3 -背景 - 3 -总结 - 4 -知识总结 - 5 -空间总结 - 5 -1、 距离空间 - 5 -2、 赋范线性空间 - 5 -3、 Banac空 间 -6 -4、 内积空间 - 7 -5、 可分空间 - 8 -6、 零空间 - 8 -7、 H空间 —8 —总结 - 8 -对泛函剖析的认识概论泛函剖析( Functional Analysi)s 是现代数学的一个分支，隶属于 剖析学，其研究的主要对象是函数组成的空间 泛函剖析是由对函数 的变换(如傅立叶变换等) 的性质的研究和对微分方程以及积分方程 的研究发展而来的 使用泛函作为表述源自变分法， 代表作用于函数 的函数巴拿赫( Stefan Banach )是泛函剖析理论的主要奠定 人之一，而数学家兼物理学家维多•沃尔泰拉(Vito Vol ter)对泛函 剖析的宽泛应用有重要贡献。

拓扑线性空间因为泛函剖析源自研究各种函数空间， 在函数空间里函数列的收 敛有不一样的种类(比如逐点收敛，一致收敛，弱收敛等等)，这说明 函数空间里有不一样的拓扑 而函数空间一般是无量维线性空间所以 抽象的泛函剖析研究的是一般的 (无量维的) 带有必定拓扑的线性空 间拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑构造的线性空间， 使得线 性空间的加法和数乘都是连续映照的空间巴拿赫空间( Banach )这是最常有， 应用最广的一类拓扑线性空间 比方有限闭区间上 的连续函数空间， 有限闭区间上的 k 次可微函数空间 或许对于每个 实数P，假如P三1，一个巴拿赫空间的例子是“全部绝对值的p次方 的积分收敛的勒贝格可测函数”所组成的空间微分的看法能够在巴拿赫空间中获取推行， 微分算子作用于其上 的全部函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映照Banach 空间是齐备线性空间希尔伯特空间( Hilbert )希尔伯特空间能够利用以下结论完整分类， 即对于随意两个希尔 伯特空间，若其基的基数相等，则它们必相互同构对于有限维希尔 伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变 换对于无量维希尔伯特空间而言， 其上的任何态射均能够分解为可 数维度上的态射，所以泛函剖析主要研究可数维度上的希尔伯特空间 及其态射。

Hilbert 空间是齐备的内积空间算子在详细的函数空间上， 我们有对函数的各种各种的操作 最典型 的是对函数求导数的操作 这样的操作一般叫做算子 作为一个拓扑 空间之间的映照， 我们总能够要求算子是连续映照 对拓扑线性空间 上的算子的研究组成了泛函剖析的一个很大的分支领域线性算子和线性泛函最基本的算子是保持拓扑线性空间构造的算子，称作线性算子 性算子的理论中有几个特别基本而重要的定理1. 一致有界定理 (亦称共识定理)，该定理描绘一族有界算子的 性质该定理有弱条件得出来了强的结论2. 罕-巴拿赫定理( Hahn-Banach Theorem ) 研究了怎样将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间 3.开映照定理和闭图像定理非线性算子更一般的我们会碰到非线性的算子 最简单的例子就是各种函数 空间上不一样的能量泛函 非线性的算子在微分几何和微分方程理论 中都饰演重要的角色选择公义泛函剖析所研究的大多数空间都是无量维的 为了证明无量维向量 空间存在一组基，一定要使用佐恩引理( Zorn's Lemma )别的，泛 函剖析中大多数重要定理都建立与罕 -巴拿赫定理的基础之上，而该定 理自己就是选择公义(Axiom of Choice)弱于布伦素理想定理Boolean prime ideal theorem ）的一个形式。

历史简介背景十九世纪以来， 数学的发展进入了一个新的阶段这就是，因为 对欧几米得第五公设的研究， 引出了非欧几何这门新的学科； 对于代 数方程求解的一般思虑， 最后成立并发展了群论； 对数学剖析的研究 又成立了会合论这些新的理论都为用一致的看法把古典剖析的基本看 法和方法一般化准备了条件 这时候，函数看法被给予了更加一般的意 义，古典剖析中的函数看法是指两个数集之间所成立的一种对应关系 现代数学的发展倒是要求成立两个随意会合之间的某种对应关系因为剖析学中很多新部门的形成，揭露出剖析、代数、会合的很 多看法和方法经常存在相像的地方 比方，代数方程求根和微分方程 求解都能够应用逐次迫近法，并且解的存在和独一性条件也极其相 似这类相像在积分方程论中表现得就更加突出了 泛函剖析的产生 正是和这类状况相关， 有些乍看起来很不相关的东西， 都存在着近似 的地方所以它启迪人们从这些近似的东西中探访一般的真实属于实质 的东西非欧几何确实立拓广了人们对空间的认知， n 维空间几何的产生同 意我们把多变函数用几何学的语言解说成多维空间的映像这样，就显 示出了剖析和几何之间的相像的地方， 同时存在着把剖析几何化的一 种可能性。

这类可能性要求把几何看法进一步推行， 以致最后把欧氏 空间扩大成无量维数的空间希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究到了二十年月 在数学界已经渐渐形成了一般剖析学， 也就是泛函剖析的基本看法 研究无穷维线性空间上的泛函数和算子理论， 就产生了一门新的剖析 数学，叫做泛函剖析 在二十世纪三十年月，泛函剖析就已经成为数 学中一门独立的学科了研究现状泛函剖析当前包含以下分支：软剖析( soft analysi)s ，其目标是将数学剖析用拓扑群、拓扑 环和拓扑向量空间的语言表述泛函剖析的特色是它不只把古典剖析的基本看法和方法一般化了，并且还把这些看法和方法几何化了半个多世纪来，泛函剖析一方面以其余众多学科所供给的素材来提 取自己研究的对象， 和某些研究手段， 并形成了自己的很多重要分支 另一方面， 它也强有力地推进着其余许多剖析学科的发展它在微分 方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论 最优化理论等学科中都有重要的应用， 仍是成立群上浮解剖析理论的 基本工具， 也是研究无穷个自由度物理系统的重要而自然的工具之一 今日，它的看法和方法已经浸透到许多工程技术性的学科之中，已成为 近代剖析的基础之一。

泛函剖析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量 子物理学等学科有着宽泛的应用 近十几年来， 泛函剖析在工程技术 方面有获取更加有效的应用它还浸透到数学内部的各个分支中去，起 侧重要的作用总结经过充分紧张的学习一个学期的学习， 在老师的率领下， 我们懂得 了泛函的基本背景来历， 懂得了泛函是在现实需要的状况下， 由实质需 要产生，产生后服务于数学识题 经过一代又一代人的不懈努力，此刻 的泛函剖析已经能够覆盖各个学科范围，此刻特别在工程力学等领域的 应用方面，作用突出，在理论研究方面获取不错的成效知识总结空间总结1、距离空间R :数列收敛，x 推行x , £ 0, N, n N. x x0 : n 0会合、序列:a a. £ 0,n 0这样就定义了距离空间 dN,(x，n N, d(anx)距离空间的定义：d(x, X), XX R此中X为非零会合 知足：① d(x, y) 0, d(x, y) 0 x y 非负性② d(x, y) d(y, x)对称性③ d(x, y) d(y, z) d(x, z)二角不等式称d (x, y)为距离，X：距离空间(x d)C [a,b]表示在 定乂距离d2 ( f , gLP( l pa b]上全部连续函数的全体，对于x(t),y属于C[a,b]， p (x,y) max ■b x(t) y(t)| d tb)会合，元素x(t)y(t)d(x, y)max va t b(t) y(t)1 2则距离:LPf(x, y)in i1SO・勺・・・Eij 1 P1 (失散点乞降)pd[a b] : P次方lebesgue可积函数全体(连续可积) L bf ? g卩dtLP [: b]， d(f，g)f(t)ig(tdt，p(p在一到无量)x yp (x,y)x y1|xy欧式空间p(x,y)2、赋范线性空间定义X线性空间，? : X R 知足D I X | 0 , x X ,11 x 0 x 0 非负性2) | ax | ! a x [ , a k (数域) 正齐次性3）称? |为范数[a,b]： [ab]上全部连续函数全体。

X，，y属于C[a,b],则有下边性质：① （x+y）（t）=离）+y（t）加乘② 閩（t）=ax 随意a属于常数 赋范线性空间的性质：性质1y II续函函收敛序列极限独一三角不等式）称为赋范线性空间k 数乘yn y0 X y||x x x yn n性质y o收敛序列有界x xnPr:xn£ 0,xN,(n性质Rn :x性质43 xx = ( ；11n 22)N,(nxkx）・・：）•属于n£数列Rnmax有界i连续性xxn J0(n )?x|xPr：x I!|x x x1:1 1〉rr iII nnl丨(nxxxn xnnx xnxKk 1)0(nxnxn0 (nxnllxl)性质5线性运算对范数连续axi.e.Pr：xanx0n y-& & I y -y 0(n)(x I y)axxny -nx-ai-y< a[xn - xx—px a a xxynyn nn nx y xaIxna ax-ax- axn ynx a0 (n)n nnn3、Banach 空间齐备的赋范线性空间都是Banach空间 齐备：随意Cauchy列都是收敛列（X, ? ）{xn} , Cauchy 列， £ 0, N, m, n N, I - x| £Cauchy 列：{x }属于距离空间X中的点列，假如对于nN当n, m N时，范线性空间4、内积空间设X是k是上的线性空间，若映照x, x 0, x, x 0 x 0 正定性 厂 （k可能为复数）a.b.C・元线性x, yax B y,za x, z By, z x, y,:XX。