2024届上海市嘉定区封浜高级中学高三上学期期中数学试卷.doc

2024届上海市嘉定区封浜高级中学高三上学期期中数学试卷一、填空题 1. 已知集合 ， ，则 ___________ . 2. 函数 的最小正周期是 _____ ． 3. 若 ，则 ___________ . 4. 已知关于 的函数 的定义域是 _________ . 5. 若幂函数 的图像经过点 ，则 = ___________ . 6. 已知数列 是等差数列， ， ，则 _________ . 7. 曲线 在点 处的切线方程为 ______ . 8. 的内角 所对应的边为 ，若 ，则 9. 展开式中常数项为 ________ . 10. 设 且 ，则 的最小值是 ________ . 11. 若将函数 向右平移 个单位后其图像关于 轴对称，则 . 12. 已知 为实数， 为偶函数，若它在区间 上存在唯一的零点，则实数 的取值范围是 ____________ . 二、单选题 13. “ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 14. 函数 y= xcos x+sin x在区间[–π，π]的图象大致为（ ） A．B．C．D． 15. 已知函数 的值域是 ，则实数 m的取值范围是（ ） A．B．C．D． 16. 设定义域为是 的两个函数 ，其值域依次是 和 ，给出下列四个命题: ①“ ”是“ 对任意 恒成立”的充要条件； ②“ ”是“ 对任意 恒成立”的充分不必要条件； ③“ ”是“ 对任意 恒成立”的充要条件； ④“ ”是“ 对任意 恒成立”的充分不必要条件； 下列选项中正确的是（ ） A．①②④；B．①②③；C．①④；D．②③④. 三、解答题 17. 如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， ，点 、 分别在棱 和棱 上，且 ， ， 为棱 的中点. （1）求证： ； （2）求二面角 的余弦值； 18. 已知数列 的前 n项和为 ，且 为正整数. (1)证明： 是等比数列； (2)求数列 的通项公式及其前 n项和 . 19. 已知函数 . (1)求 的最大值及取得最大值时 的值； (2)在 中，内角 所对应的边为 ，若 ， 成等差数列，且 ，求 的值. 20. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 在水平线 上，桥 与 平行， 为铅垂线（ 在 上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线 上任一点 到 的距离 （米）与 到 的距离 （米）之间满足关系式 ；山谷右侧的轮廓曲线 上任一点 到 的距离 （米）与 到 的距离 （米）之间满足关系式 ；已知点 到 的距离为40米； (1)求谷底 到桥面 的距离和桥 的长度； (2)计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩 和 ，且 为80米，其中 ， 在 上（不包括端点），桥墩 、 每米造价分别为 、 万元（ ）；问： 为多少米时，桥墩 和 的总造价最低？ 21. 已知函数 ， 为 的导函数． （Ⅰ）当 时， （i）求曲线 在点 处的切线方程； （ii）求函数 的单调区间和极值； （Ⅱ）当 时，求证：对任意的 ，且 ，有 ． 。