安徽省2025届高三上学期12月联考数学试卷(含答案).docx

安徽省2025届高三上学期12月联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知集合，，则( )A. B. C. D.2．若复数z满足，则z的共轭复数( )A. B. C. D.3．“，”的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D.4．已知，，三点，点P在圆上运动，则的最大值与最小值之和为( )A.96 B.98 C.100 D.1025．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则( )A. B. C. D.6．已知，，，则a，b，c的大小关系是( )A. B. C. D.7．已知函数，函数满足，，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为( )A. B. C. D.8．记数列的前n项和为，若，且，则的最小值为( )A.0 B.1 C.2 D.3二、多项选择题9．已知平面向量，，则( )A. B.C.与的夹角是 D.在上的投影向量是10．如图，在棱长为1的正四面体中，点O是顶点A在底面内的射影，M为的中点，则( )A. B.C.点D到平面的距离为 D.三棱锥的外接球体积为11．已知函数，则下列说法错误的是( )A.的图象关于直线对称B.存在a，b，使得为奇函数C.当时，，使得D.当时，的最小值为三、填空题12．数据7.4，7.5，7.5，7.8，8.0，8.0，8.2，8.4，8.4，8.5的第70百分位数是________.13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，，则C的离心率________.14．对任意实数a，b，c，d，均有，当且仅当时等号成立，这个不等式称为柯西不等式.若关于x的方程有实根，则的最小值为________.四、解答题15．从甲、乙两名同学中选派一人代表班级参加学校活动，制定如下规则：将大小、材质相同的1个红球和2个黑球放入抽签箱中，由班长随机摸出2个球，若颜色相同，则甲得1分，若颜色不同，则乙得1分，每次摸球记录结果后将小球放回，重新摸取，首先得3分的一人将被选派.（1）求每次摸球甲得分的概率.（2）现有两个方案：①增加1个红球；②增加1个黑球.为了使选派结果更加公平，应选哪个方案？16．如图，在四棱锥中，O，M，N分别为棱，，的中点，平面，，四边形是边长为4的正方形.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.17．已知椭圆的一个焦点F与抛物线的焦点重合，左、右顶点分别为A，B，且E上存在点P，使得直线与的斜率之积为.（1）求E的方程.（2）过点F作直线交E于G，H两点（与A，B均不重合），过原点O作直线的平行线交E于M，N两点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18．已知函数.（1）记的图象在点处的切线方程为，证明：当时，；（2）若当时，，求实数a的最大整数值.19．16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式.积化和差：，，，.和差化积：，，，.运用上面的公式解决下列问题：（1）证明：；（2）若，证明：；（3）若函数，判断的零点个数，并说明理由.参考答案1．答案：B解析：由题可知，或，故.2．答案：A解析：由题可知，故.3．答案：D解析：，，则，由函数的单调性可知，当时，，所以，，""的一个充分不必要条件为"".4．答案：D解析：设，则，由于，所以，因为，所以的最大值与最小值之和为.5．答案：B解析：由，得，由正弦定理和余弦定理得，结合，，可得，所以，所以.6．答案：C解析：，，，根据函数，，图象的变化特征可知，所以.7．答案：A解析：因为，所以为奇函数，由题可知的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，又恰有2025个零点，所以有2024个零点关于点对称，另一个零点为，所有零点之和为.8．答案：C解析：由，得，所以，所以，因为，所以，所以当时，，如当，，，，，时，可以取到最小值.9．答案：ACD解析：对于A，因为，所以，故A正确；对于B，由于，所以，不共线，故B错误；对于C，设与的夹角为，则，所以，故C正确；对于D，在上的投影向量为，故D正确.10．答案：AC解析：对于A，由于正四面体的棱长为1，所以，可以解得，，所以，于是，所以，所以，故A正确；对于B，与A同理可得，，假设，则平面，这显然是不成立的，故假设不成立，故B错误；对于C，因为，，两两垂直，所以平面，则点D到平面的距离为，故C正确；对于D，三棱锥的四个顶点可视为棱长为的正方体的四个顶点，其外接球半径为，体积为，故D错误.11．答案：BCD解析：对于A，，故A正确；对于B，，所以不可能为奇函数，故B错误；对于C，当时，，当时，，，因为，所以，所以，所以，，故C错误；对于D，当时，，，由于，，所以，故D错误.12．答案：8.3解析：因为，所以第70百分位数为.13．答案：解析：由于，，所以，由离心率、双曲线的定义及正弦定理得，14．答案：解析：记，根据题意可知存在，使得，所以，当且仅当时等号成立，故，设，则，记，则在上单调递增，当时，，此时，可得，，故的最小值为.15．答案：（1）；（2）应选方案②解析：记事件"每次摸球甲得分"，红球记为，，黑球记为，，.（1）每次摸球的样本空间，，所以.（2）在方案①中：每次摸球的样本空间，，所以.在方案②中：每次摸球的样本空间，，所以，为了使选派结果更加公平，应选方案②.16．答案：（1）证明见解析；（2）解析：（1）方法一：O，M，N分别为棱，，的中点，，.平面，平面，平面.，，又平面，平面，平面.，平面平面.又平面，平面.方法二：取的中点F，连接，.M为的中点，，，又，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.（2）取的中点E，连接，则，平面，平面，，.以O为原点，直线，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的法向量为，则，即，令，则，同理得平面的一个法向量为.记平面与平面的夹角为，则，故平面与平面夹角的余弦值为.17．答案：（1）；（2）存在，使得恒成立解析：（1）设，由题知，，则，又点P在E上，所以，又抛物线的焦点为，所以，解得，，所以E的方程为.（2）由题知，的斜率不为0，设，，，，，联立与E的方程得，所以，所以.联立与E的方程得，所以，所以.所以，所以存在，使得恒成立.18．答案：（1）当时，；（2）4解析：（1）由题可知，，所以，所以，令，则，易知的定义域为，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.令，则当时，，所以.综上，当时，.(II)当时，由，得.记，则，记，则，所以在上单调递增，又，，所以，使得，即，当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以a的最大整数值为4.19．答案：（1）（2）（3）仅有一个零点解析：（1）根据二倍角公式与和差化积恒等式可得：（2）左边.右边.因为，所以，故.（3）仅有一个零点.理由如下：显然，下面证明当时，.当时，，，，所以，所以当时，.综上，仅有一个零点.。