弹性力学及有限单元法_邵国建_薄板弯曲问题.ppt

第一节 有关概念及计算假定第二节 弹性曲面的微分方程第三节 薄板横截面上的内力第四节 边界条件 扭矩的等效剪力第五节 四边简支矩形薄板的重三角级数解第六节 矩形薄板的单三角级数解第七节 矩形薄板的差分解第八节 圆形薄板的弯曲第九节 圆形薄板的轴对称弯曲例题第九章 薄板弯曲问题薄板 是厚度远小于板面尺寸的物体§9-1 有关概念及计算假定定义薄板的上下平行面称为 板面 薄板的侧面，称为板边 平分厚度的面 ,称为 中面第九章 薄板弯曲问题 比较薄板受到横向荷载（ ⊥ 板面）的作用 --薄板的弯曲问题 薄板受到纵向荷载（ ∥ 板面）的作用 --平面应力问题 ；杆件受到横向荷载（ ⊥ 杆轴）的作用 --梁的弯曲问题 杆件受到纵向荷载（ ∥ 杆轴）的作用 --杆件的拉压问题；第九章 薄板弯曲问题薄板弯曲问题属于空间问题 其中，根据其内力及变形的特征，又提出了 3个计算假定 ，用以 简化空间问题的基本方程，并从而建立了 薄板的弯曲理论 特点第九章 薄板弯曲问题当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为 薄板的弹性曲面 定义小挠度薄板 --这种板虽然薄，但仍有相当的抗弯刚度。

它的特征是：第九章 薄板弯曲问题(3)在内力中， 仅由横向剪力 与横向荷载 q 成平衡 ，纵向轴力的作用可以不计2) 在 中面位移 中 ,w 是主要的，而 纵向位移 u,v很小 ，可以不计； (1)具有一定的刚度， 横向挠度 ；第九章 薄板弯曲问题1. 垂直于中面的线应变 可以不计 取 ， 由 ，得 故中面法线上各点，都具有相同的横向位移，即挠度 w本章研究小挠度薄板的弯曲问题 根据其内力和变形特征，提出了 3个计算假定：计算假定第九章 薄板弯曲问题弯应力 （合成弯矩 ）及 扭应力 （合成扭矩 ）横向切应力 （合成横向剪力 ）挤压应力 2. 次要 应力分量 远小于其他应力分量，它们引起的形变可以不计 薄板中的 应力 与梁相似，也分为 三个数量级：第九章 薄板弯曲问题所以 为 次要应力 ， 为 更次要应力 略去它们引起的形变，即得并在空间问题的物理方程中，略去 引起的形变项。

因此，当略去 后，薄板弯曲问题的物理方程 为第九章 薄板弯曲问题(1) 在薄板弯曲问题中，略去了次要应力引起的形变 ; 但在平衡条件中，仍考虑它们的作用说明：第九章 薄板弯曲问题⑵ 薄板弯曲问题的物理方程 (b)与平面应力问题的物理方程相同但沿板厚方向，对于 平面应力问题的应力为均匀分布，合成轴力 而 薄板弯曲问题的应力为线性分布 ，在中面为 0，合成弯矩 和扭矩 第九章 薄板弯曲问题⑶ 从计算假定 1、 2，得出故中面法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线第九章 薄板弯曲问题因此，中面在变形后，其线段和面积在 xy 面上的投影形状保持不变由于故3.中面的纵向位移可以不计 ，即第九章 薄板弯曲问题实践证明，只要是小挠度的薄板，薄板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的精度类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问题中提出了上述 3个计算假定，并应用这 3个计算假定 ,简化空间问题的基本方程，建立了 小挠度薄板弯曲理论 第九章 薄板弯曲问题1.试考虑在材料力学梁的弯曲问题中，是否也应用了这 3个计算假定？2.在材料力学的梁弯曲问题中，采用了平面截面假设。

在薄板中有否采用此假设？思考题第九章 薄板弯曲问题§9-2 弹性曲面的微分方程本节 从 空间问题的基本方程 出发，应用 3个计算假定 进行简化，导出 按位移求解薄板弯曲问题的基本方程 薄板问题解法第九章 薄板弯曲问题2. 将 其他未知函数 ─ 纵向位移 u,v；主要 应变分量 ;主要应力分量 ；次要应力分量 及最次要应力 均用 w来表示 薄板弯曲问题是按位移求解的 ，主要内容是： 4.导出 板边的边界条件 3.导出 求解 w的方程 1.取挠度 w(x,y)为 基本未知函数 第九章 薄板弯曲问题具体 推导如下 ：1. 取 挠度 为基本未知函数 应用几何方程及计算假定 1， 第九章 薄板弯曲问题2. 将 ， 用 表示应用几何方程及计算假定 2，得对 积分 ，又由计算假定 3， 故得第九章 薄板弯曲问题3.主要应变 用 表示。

应用其余三个几何方程，并代入 (a)，得：(b)第九章 薄板弯曲问题4.主要应力 用 表示应用薄板的三个物理方程及式 (b)，得：(c)第九章 薄板弯曲问题5.次要应力 用 表示应用平衡微分方程的前两式（其中纵 向体力 ），有代入式 (c) ，并对 z积分，得：其中第九章 薄板弯曲问题因为 上下板面 是大边界，必须 精确满足应力边界条件 由此求出 及 ，代入得到第九章 薄板弯曲问题6.更次要应力 用 表示应用第三个平衡微分方程，将体力及板面上的面力等效地移置到上板面，有代入式 (d)，并对 z积分，得第九章 薄板弯曲问题由 下板面的边界条件求出 ，故更次要应力为第九章 薄板弯曲问题7.导出求解 w 的基本方程由 上板面边界条件 （属于静力平衡条件）得出在 A域中求 w 的方程， (f)(g)为 薄板的抗弯刚度求 w方程第九章 薄板弯曲问题说明：⑴ 在三个计算假定下，纵向位移 u,v；主要应变 ；主要应力 ；沿 z向均为线性分 布，在中面 为 0；次要应力（横向切应力） 沿 z向为抛物线分布；－－均与材料力学相似 。

更次要应力（挤压应力） 沿 z为三次曲线分布第九章 薄板弯曲问题⑵ 按位移求解薄板弯曲问题，只取 为基本未知函数在导出求 的基本方程中应用了 3个计算假定，与材料力学解梁的弯曲问题相似第九章 薄板弯曲问题⑶ 从上述推导过程可见 ,空间问题的 6个几何方程， 6个物理方程和 3个平衡微分方程都已考虑并满足 （其中应用了 3个计算假定）；并且在（ ）的 大边界板面 上， 3个应力边界条件也已精确满足 ⑷ 只有 板边的边界条件 尚未考虑，它们将作为求解微分方程（ f）的边界条件第九章 薄板弯曲问题思考题试比较梁的弯曲问题和薄板弯曲问题的异同第九章 薄板弯曲问题薄板内力 ，是 薄板每单位宽度的横截面上 ,由应力合成的主矢量和主矩求薄板内力的目的：§9-3 薄板横截面上的内力 ⑵ 在板边（小边界）上，要用内力的边界条件代替应力的边界条件⑴ 薄板是按内力设计的；薄板内力第九章 薄板弯曲问题求内力：取出 的六面体，x面上 ，有应力 ， ， y面上 ，有应力 ， ， 其中， ， = ，沿 z为直线分布，在中面为 0；， ，沿 z为二次分布，方向 ∥ 横截面。

第九章 薄板弯曲问题x面 面积上 ，应力的主矢量和主矩为： x面内力─ 合成主矢量称为 横向剪力 ,─ 合成主矢量为 0,合成主矩称为 扭矩,─ 合成主矢量为 0,合成主矩称为 弯矩,第九章 薄板弯曲问题类似地，求出 y面 面积上的内力：y面内力弯矩扭矩横向剪力内力的正负号规定 ，根据应力符号确定 : 正的应力方向的主矢量为正 ;正的应力 ×正的矩臂的力矩方向为正 ,如图第九章 薄板弯曲问题xyz内力符号第九章 薄板弯曲问题内力均为单位宽度上的主矢量和主矩，所以其量纲均应降低一次长度量纲 (e)(f)中面内力平衡条件考虑上图的 中面平衡条件 ，可得：薄板内力是横截面上，应力向中面合成的主矢量和主矩第九章 薄板弯曲问题再将 用 w来表示，同样地得出挠曲线微分方程将前两式代入后式，得 第九章 薄板弯曲问题§9 － 4　边界条件 扭矩的等效剪力 薄板的边界条件 ：在上下板面 （大边界），已精确地满足了 3个应力边界条件。

边界条件第九章 薄板弯曲问题板边为小边界， 可以应用 圣维南原理来简化边界条件 ,将 板边的边界条件 归结为 中面的位移边界条件 或 中面的内力边界条件 板边 （小边界） 的边界条件尚未考虑 ,是求解挠曲线微分方程的边界条件可看成是中面的挠曲微分方程 , 或中面的平衡方程；边界条件第九章 薄板弯曲问题薄板板边的边界条件 分为三类：1.固定边 --若 为广义固定边，则其中 为给定的约束位移若完全固定， 则固定边(a)第九章 薄板弯曲问题2.简支边 -- 若 为广义简支边，则其中 ， 分别为给定的约束位移和弯矩若 ，则一般的简支边条件为简支边第九章 薄板弯曲问题故 第二个条件可以简化简支边的条件为因简支边第九章 薄板弯曲问题3.自由边 --若 为一般的自由边，则上式边界条件共有 3个，与四阶微分方程不相对应 经过约 20年后，基尔霍夫指出，薄板板边上的扭矩可化为等效的横向剪力。

自由边第九章 薄板弯曲问题第九章 薄板弯曲问题在 EF = dx 微分段上 ，总扭矩 ，化为E、 F上等效的一对力 ，分别向下（ E）和向上（ F）；在 FG =dx 微分段上 ，总扭矩 ，化为 F、 G上等效的一对力 ，分别向下（ F）和向上（ G）图中，取出 板边 AB（ y面），扭矩的等效剪力第九章 薄板弯曲问题在 F点，合成集中力 ,向下再化为 宽度上的 分布剪力 故 AB边界总的分布剪力 为第九章 薄板弯曲问题此外， 在 A， B两端 ，还有两个未被抵的集中剪力 用挠度。