光束法平差模型.docx

旋转矩阵四元素法和光束法平差模型1. 旋转矩阵的四元素表示法： 由于利用传统旋转矩阵表示法解算时,旋转阵中的三角函数存在多值性和奇异性 ,经常 导致迭代计算的次数增加，甚至会出现不收敛情况Pope从四维代数出发，提出用四个代数 参数d, a, b, c构成R矩阵,Hinsken导出了一整套公式，即pope-hinsken算法（简称P-H 算法），使pope参数在实际摄影测量中得到了应用设四个参数d, a, b, c服从下列条件（如 式 3-1）:式 3-1）d 2+a 2+b2+c 2 二 i用这四个参数构造下列矩阵（如式3-2）:-d—aadbcc—bp =-b-cda—cb-ad _~da-ad-bc—c—bQ = ab-cdacb-ad _式 3-2）可以知道P,Q矩阵都是正交矩阵，从而可知（式3-3）：~1 0 0 00式 3-3)T 二 PQ 二0 R0TtT = Qt Pt PQ = 1可知Rt R = 1 , R为正交矩阵,4X 4 3X3其形式如（式3-4)：因式 3-4)上式就是旋转矩阵R的四元素表示法，可以表示任何一种旋转状态2. 光束法平差模型： 在解析摄影测量中，将外方位元素和模型点坐标的计算放在一个整体内进行，此时称其 为光束法。

光束法平差是以共线方程式作为数学模型，像点的像平面坐标观测值是未知数的 非线性函数，经过线性化后按照最小二乘法原理进行计算该计算也是在提供一个近似解的 基础上，逐次迭代来达到趋近于最佳值的①.共线方程式的表达：设 S 为摄影中心，在世界坐标系下的坐标为（ XS ,YS , ZS ） ;M 为空间一点，在世界坐 标系下的坐标为（X,Y,Z）, m是M在影像上的构象，其像平面和像空间辅助坐标分别为（x, y，-f），（ Xm, YmZm），此时可知S、m、M三点共线可得（式3-5）式 3-5)Xm Ym Zm 九X - XS Y-YS Z - ZS再根据像平面坐标和像空间辅助坐标的关系有（式3-6）xXa.b1cXm111my— R TYm—a 2b2C 2*Ym■f _Zm_ a 3b3C 3 -Zm由式 3-5 和式 3-6 可解得共线方程式为（式 3-7）x-x0ai( X - Xs)+c1(Y-YS) + 1( Z - ZS)y - y 0 二-fa b c3( X - Xs)+ 3(Y-YS)+ 3( Z - ZS)a b c2( X - Xs)+； 2(Y-YS) + 2( Z - ZS) a3(X-Xs)+b3(Y-YS)+c3(Z-ZS)式 3-7）其中，X °、y 0、f是影像内方位元素；表示像平面中心坐标和摄像机主距。

②•共线方程式的线性化：该方程式一次项展开式为（式3-8）F = FX 0 + d + d + d +X X 0 QXs Xs QYs Ys QZs Zs 外 9 3 5k k OX x qy y qz z ….(式 3_8)F = F 0 + QFyd +QFyd +QFyd +QFyd +QFyd +QFyd +QFyd + QFy d +QFydy y 0 qXs Xs qYs Ys qZs Zs q9 9 q3 3 qk k qX X qY Y qZ Z式中FX0、F 0为共线方程函数近似值，d、d、d、d、d d为外方位元素 Xs Ys Zs 9改正数， d 、 d 、 d 为待定点的坐标改正数XYZ在保证共线条件下有：OFx — — OFx，oFx — — QFx •)oFx — — QFxQX QXs QY QYs QZ QZs式 3-9）QFy — — QFy , QFy — — QFy , QFy — — QFy~Ox aXs "QF IyI ~5z aZs此时，根据式3-7以及旋转矩阵可得到(式3-10)：a — qfx — i(a f + a Fx)11 QXs z 1 3a — QFx —丄(c f + c Fx)13 QZs z 1 3a — QFy — i (b f + b Fy)22 QYs z 2 3a — qex —丄(b f + b Fx)12 QYs z 1 3a — QFy —丄(a f + a Fy)21 QXs z 2 3a — -QFy — i(cf + c Fy)23 QZs z 2 3a — -QFx —14 Q9y sin 3 - (x cos k 一 y sin k ) + f cos k ]cos 3式 3-10)a — oex — - f sin k -工(x sin k + y cosk) a16 — -QEx — y15 Q3 f 16 Qka25a — QEy — - x26 Qka — -QEy — — x sin 3 — [工(x cos k — y sin k ) 一 f sin k ]cos 3 2 4 Q9 f— QEy — — f cos k —丄(x sin k + y cos k ) Q3 f③ 误差方程式的建立：据此可得到误差方程式为（式3-11）V — a d +a d +a d +a d +a d +a d -a d -a d -a d -lX 11 X 12 Ys 13 Zs 14 9 15 3 16 k 11 X 12 Y 13 Z xV — a d + a d + a d + a d + a d + a d - a d - a d - a d - ly 21 X 22 Ys 23 Zs 24 9 25 3 26 k 21 X 22 Y 23 Z y其中有：a b c1 = F - Fg = x + f 1(X-Xs)+ 1(Y—YS)+ 1(Z—ZS)x x x o a b c3(X-Xs)+ 3(Y-YS)+ 3(Z-ZS)1 = F厂Fy 0 = y + fa b c 2( X - Xs) + 2(Y-YS) + 2( Z - ZS) ~a ^~c3(X-Xs)+ 3(Y-YS)+ 3(Z-ZS)将误差方程式改写成矩阵形式可为（式3-13）：「VX1aaaaaa1X^3111213141516*Vaaaaaay212223242526dXsdYsdZs d d dK—a+ 11—a21-a12-a22—a13 *—a23dXdYdZ1x1y也可简写成：V = \a在该式中有：b]* X - L 二 AX + Bt - L t _V = V V ]式 3-13）式3-14）i-xy-iaaaaaa1111213141516aaaaaa212223242526—a-a- a 1B3111213—a-a—ar212223]ddddd ]TXsYsZs9Kt3dddTL J】]Zxy④ 法方程式的建立：根据平差原理可知其法方程式为（式3-15）：AT ABT AAtB*BtBAtL 二 0BtL式 3-15)此时，对于加密点，只需列出误差方程式，权赋1；对于控制点，列出误差方程式，还要列出虚拟误差方程式，权赋P。

虚拟误差方程式为（式 3-16）：V 二 AXX权为PJ v =AYYV =AZZ列出各类点的误差方程式后，按照最小二乘法原理建立法方程式，即按XPVV为最小建立的法方程式为（式 3-17）：AT PABT PAAT PBBT PBAPL = 0BtPL式 3-17)也可简写成：N1112*Xl1tl2N12N22=0在根据上式进行展开消元可得改化法方程式为：式 3-18)式 3-19)In - N N 一1N T ]* X = L - N N _1 L11 12 22 12 1 12 22 2或者In - N T N -1N ]*t = L - N T N -1L22 12 11 12 2 12 11 1根据式 3-18可以求解出外方位元素的改正值；式3-19可以求解出点的坐标改正值⑤ .结果判定： 将改正数和规定的限差相比较，若小于限差则迭代完成，否则用未知数的新值又作为 近似值继续迭代，直至满足条件由此可知，开始时提供的初始值越接近最佳值，解的收敛速度就愈快；所以通常的处 理方法是先进行空间后方交会，求出像片的外方位元素，将其作为光束法平差时未知数的初 始值参考文献：摄影测量学 武汉大学出版社 金为铣 2001年 4月 P23J1718。