高中数学 第二章 推理与证明 2.2 反证法课件 新人教B版选修1-2.ppt

2.2 2.2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明2.2.2 2.2.2 反反 证证 法法反证法反证法内容：反证法的概念、步骤应用:1.直接证明难以下手的命题直接证明难以下手的命题2.“2.“至少至少””、、““至多至多” ” 型命题型命题3.否定性命题否定性命题4.某些存在性命题某些存在性命题 本课主要学习反证法反证法是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾的结论.本课以视频王戎的故事引入新课，从生活实例抽象出反证法的概念、步骤.让学生感受到了反证法处处可在，也从这些具体的例子中更加熟悉反证法的步骤.并能利用反证法解决简单的问题.证明方法的选择，以及如何发现证明思路是本课的难点.由于学生的实际情况不同，且本节内容涉及过多以往知识点的应用，建议教师在使用本课件时灵活掌握. 在讲述反证法的应用时，采用例题与变式结合的方法，通过例1和变式1,让学生明白:当直接证明命题难以下手时，改变其思维方向，从反面进行思考，问题可能解决得十分干脆通过例2和例3,告诉学生:“至少”、“至多” 型命题常用反证法.采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解和巩固反证法的运用方法.1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程综合法已知条件结论分析法结论 已知条件 路边苦李路边苦李 古时候有个人叫王戎，7岁那年的某天，他和小伙伴在路边玩，看见一颗李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动.他说：“李子是苦的，我不吃.”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃.小伙伴问王戎：“这就怪了！你又没吃怎么知道李子是苦的啊？” 王戎说：“如果李子是甜的，树长在路边，李子早就没有了！李子现在还这么多，所以啊，肯定李子是苦的，不好吃！” 王戎推断李子是苦涩的道理和你的方法一样吗？是什么方法？反证法是我们常见的一种证明方法，它隶属于间接证明，今天我们就来一起探讨反证法在证明问题中的应用.反证法反证法路边苦李路边苦李（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。

则C在撒谎吗？为什么？分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎. 由A撒谎, 知B没有撒谎. 那么假设C没有撒谎不成立,则C必定是在撒谎.这与B撒谎矛盾.把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明注：反证法是最常见的间接证法，  反证法：反证法：假设命题结论的反面成立假设命题结论的反面成立, ,经过正确的推理经过正确的推理, ,引出矛盾，因此说引出矛盾，因此说明假设错误明假设错误, ,从而证明原命题成立从而证明原命题成立, ,这这样的的证明方法叫反证法样的的证明方法叫反证法. .（（归谬法归谬法））反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反 例例1 1：：求证：求证： 是无理数是无理数解析：解析：直接证明难以下手的命题直接证明难以下手的命题，，改变改变其思维方向，从反面进行思考，问题可其思维方向，从反面进行思考，问题可能解决得十分干脆能解决得十分干脆 例1：求证： 是无理数证明：假设 是有理数则存在互质的整数m,n使得•反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。

归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理， ````````得出矛盾；用反证法证明命题的过程用框图表示为： 肯定条件否定结论导 致逻辑矛盾反设 不成立结论成立所以假设错误，故原命题所以假设错误，故原命题成立成立证明证明: : 假设假设不大于不大于则则或或因为因为所以所以否定要全面例例2 2 已知已知a≠0a≠0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有一个根有且只有一个根注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法 不妨设方程的两根分别为不妨设方程的两根分别为证：证：由于由于 ，因此方程至少有一个根，因此方程至少有一个根假设方程假设方程 至少存在两个根至少存在两个根则：则：与已知与已知 矛盾，故假设不成立，结论成立矛盾，故假设不成立，结论成立例例3 3：：已知已知x>0,y>0x>0,y>0，，x + y >2x + y >2，，求证：求证： 中至少有一个小于中至少有一个小于2 2。

分析：所谓至少有一个,就是不可能没有,要证“至少有一个”只要证明它的反面“所有都”不成立即可.注:“至少”、“至多” 型命题常用反证法 常见否定用语常见否定用语是－－－是－－－不是不是 有－－－有－－－没有没有等－－－等－－－不等不等 成立－－成立－－不成立不成立都是－－都是－－不都是，即至少有一个不是不都是，即至少有一个不是都有－－都有－－不都有，即至少有一个没有不都有，即至少有一个没有都不是－都不是－部分或全部是，即至少有一个是部分或全部是，即至少有一个是唯一－－唯一－－至少有两个至少有两个至少有一个有（是）－－至少有一个有（是）－－全部没有（不是）全部没有（不是）至少有一个不－－－－－至少有一个不－－－－－全部都全部都 应用反证法的情形： (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题； (4)结论为 “唯一”类命题；正难则反正难则反! !三个步骤：三个步骤：反设反设—归谬归谬—存真存真归缪矛盾：归缪矛盾：（（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾； （（3 3）自相矛盾。

自相矛盾 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），结论不成立）， 经过正确的推理，经过正确的推理，最后得出矛盾最后得出矛盾因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做这样的证明方法叫做反证法反证法推推理理与与证证明明推理推理证明证明合情推理合情推理演绎推理演绎推理直接证明直接证明间接证明间接证明类比推理类比推理归纳推理归纳推理 分析法分析法 综合法综合法 反证法反证法已知：已知：整数整数a的平方能被的平方能被2整除，整除，求证：求证：a是偶数证明：假设a不是偶数，则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数) ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 ∴a2是奇数，与已知矛盾 ∴假设不成立，所以a是偶数。