2012年高考理科数学(湖北卷).doc

2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1．方程26130xx的一个根是 A．32i  B．32i C．23i  D．23i2．命题“，3 0x Q”的否定是QCxR0A．，3 0x Q B．，3 0x CxR0QCxR0C．，3x Q D．，QCxRQCxR3x Q3．已知二次函数( )yf x的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为A．2π 5B．4 3C．3 2D．π 24．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．8π 3B．3π C．10π 3D．6π5．设aZ，且013a，若201251a能被 13 整除，则a  A．0 B．1 C．11 D．126．设, , , , ,a b c x y z是正数，且22210abc，22240xyz，20axbycz，则abc xyzA．1 4B．1 3C．1 2D．3 47．定义在(,0)(0,)U上的函数( )f x，如果对于任意给定的等比数列{}na， { ()}nf a仍是等比数列，则称( )f x为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)U上的如下函数：①2( )f xx； ②( )2xf x ； ③( )||f xx； ④( )ln ||f xx.则其中是“保等比数列函数”的( )f x的序号为 A．① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ 8．如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A．21π B．11 2πC．2 πD．1 π9．函数2( )cosf xxx在区间[0,4]上的零点个数为A．4 B．5C．6 D．710．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一， 所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式3169dV. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L判断，下列近似公式中最精确的一个是A．3169dV B．32dV C．3300 157dV D．321 11dV二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14 题）11．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若 ()()abc abcab，则角C  ． 12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s  .13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如 22，121，3443，94249 等．显然 2 位回文数有 9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有 90 个：101，111，121，…，191，202，…，999．则（Ⅰ）4 位回文数有 个；（Ⅱ）21()nnN位回文数有 个．14．如图，双曲线22221 ( ,0)xya bab的两顶点为1A，2A，虚轴两端第 12 题 图第 8 题图点为1B，2B，两焦点为1F，2F. 若以12A A为直径的圆内切于菱形1122FB F B，切点分别为 ,,,A B C D. 则 （Ⅰ）双曲线的离心率e  ；（Ⅱ）菱形1122FB F B的面积1S与矩形ABCD的面积2S的比值12S S .（二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第 15 题作答结果计分.） 15． （选修 4-1：几何证明选讲） 如图，点 D 在Oe的弦 AB 上移动，4AB ，连接 OD，过点 D 作OD的垂线交Oe于点 C，则 CD 的最大值为 . 16． （选修 4-4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线π 4与曲线21,(1)xtyt  （t 为参数）相交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的直角坐标为 .三、解答题 17． （本小题满分 12 分）已知向量(cossin, sin)xxxa，( cossin, 2 3cos)xxx b，设函数( )f xa b()xR的图象关于直线πx 对称，其中，为常数，且1( , 1)2. （Ⅰ）求函数( )f x的最小正周期； （Ⅱ）若( )yf x的图象经过点π(,0)4，求函数( )f x在区间3π[0,]5上的取值范围.18． （本小题满分 12 分）已知等差数列{}na前三项的和为3，前三项的积为8.（Ⅰ）求等差数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若2a，3a，1a成等比数列，求数列{||}na的前n项和.19． （本小题满分 12 分）如图 1，45ACBo，3BC ，过动点 A 作ADBC，垂足 D 段 BC 上且异于点B，连接 AB，沿AD将△ABD折起，使90BDCo（如图 2 所示） ． （Ⅰ）当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．20． （本小题满分 12 分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 X（单位：mm）对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量 X 小于 300，700，900 的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：（Ⅰ）工期延误天数Y的均值与方差； （Ⅱ）在降水量 X 至少是300的条件下，工期延误不超过 6 天的概率. 21． （本小题满分 13 分）设A是单位圆221xy上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x 轴的交点，点M在直线l上，且满足||||(0,1)DMm DAmm且. 当点A在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H. 是否存在m，使得对任意的0k ，都有PQPH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由. 22． （本小题满分 14 分）（Ⅰ）已知函数( )(1) (0)rf xrxxrx，其中r为有理数，且01r. 求( )f x的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：降水量 X300X 300700X700900X900X 工期延误天数Y02610设120,0aa，12,b b为正有理数. 若121bb，则12 121 122bba aa ba b；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式1()xx .参考答案及其解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 1．考点分析：考点分析：本题考察复数的一元二次方程求根. 解析：解析：根据复数求根公式：26613 4x322i   ，所以方程的一个根为32i 答案为 A. 2． 考点分析：考点分析：本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别.解析：解析：根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定。

因此选 D 3． 考点分析：考点分析：本题考察利用定积分求面积. 解析：解析：根据图像可得： 2( )1yf xx ，再由定积分的几何意义，可求得面积为1231 1114(1)()33Sxdxxx .4．考点分析：考点分析：本题考察空间几何体的三视图.解析：解析：显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分， 并且有正视图知是一个 1/2 的圆柱体，底面圆的半径为 1，圆柱体的 高为 6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选 B.5．考点分析：考点分析：本题考察二项展开式的系数.解析：解析：由于 51=52-1，152...5252) 152(12011 201220111 201220120 20122012CCC,又由于 13|52,所以只需 13|1+a，0≤a<13,所以 a=12 选 D.6．考点分析：考点分析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.解析：解析：由于222222)())((2czbyaxzyxcba 等号成立当且仅当, tzc yb xa则 a=t x b=t y c=t z ，10)(2222zyxt所以由题知2/1t,又2/1, tzyxcba zyxcba zc yb xa所以，答案选 C.7．考点分析：考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.解析：解析：等比数列性质，2 12nnnaaa，①  1222 12 22 2nnnnnnafaaaafaf； ②  122 21222222  naaaaa nnafafafnnnnn；③  122122nnnnnnafaaaafaf；④  122 122lnlnlnnnnnnnafaaaafaf.选 C8．考点分析：考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法.解析：解析：令1OA，扇形 OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为1S，围成 OC 为2S，作对称轴 OD，则过 C 点。

2S即为以 OA 为直径的半圆面积减去三角形 OAC 的面积，82 21 21 21 21 2122S在扇形 OAD 中21S为扇形面积减去三角形 OAC 面积和22S，162 281181 2221SS，42 21SS，扇形OAB 面积41S，选 A.9．考点分析：考点分析：本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.解析：解析：0)(xf，则0x或0cos2x，Zkkx,22，又 4 , 0x，4 , 3 , 2 , 1 , 0k所以共有 6 个解.选 C. 10．考点分析：考点分析：考察球的体积公式以及估算. 解析：解析：33466b6 9( )d,,===3.37532b16 6 16 1576 11==3==3.14,==3.142857230021dVaVAaBD由，得设选项中常数为则；中代入得，中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.。