54实对称矩阵的相似矩阵.ppt

第四节第四节 实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵一、实对称矩阵特征值的性质一、实对称矩阵特征值的性质二、实对称矩阵的相似理论二、实对称矩阵的相似理论三三、、 实对称矩阵对角化的方法实对称矩阵对角化的方法第四节 教学要求 1、掌握实对称矩阵特征值的性质 2、熟练掌握实对称矩阵对角化的方法定理定理1 1　　实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数. .证明证明一、实对称矩阵特征值的性质一、实对称矩阵特征值的性质　　说明　　说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指明，均指实对称矩阵实对称矩阵．．于是有于是有两式相减，得两式相减，得定理定理1 1的意义的意义证明证明于是于是二、实对称矩阵的相似理论二、实对称矩阵的相似理论定理定理4 任意实对称矩阵任意实对称矩阵 都与对角矩阵相似都与对角矩阵相似它们的重数依次为它们的重数依次为其中其中证明：证明：设设 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为由定理由定理3，对应于特征值，对应于特征值 又由定理又由定理2及及 知，知， 有有 个线性无个线性无关的特征向量，关的特征向量， 恰有恰有 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，从而从而 与对角矩阵相似。

与对角矩阵相似定理定理5 设设 为为 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵阶实对称矩阵，则存在正交矩阵使使 ，其中，其中 是以是以 的的 个特征值为对个特征值为对角元素的对角矩阵角元素的对角矩阵　　　　根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤为：为：将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2.1.三三. 实对称矩阵对角化的方法实对称矩阵对角化的方法其中对角矩阵其中对角矩阵 的主对角元的排列顺序与的主对角元的排列顺序与 中列向量的排列顺序相对应中列向量的排列顺序相对应.解解例例1 1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，，使使 为对角阵为对角阵.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化于是得正交阵于是得正交阵利用对角化可求方阵的幂利用对角化可求方阵的幂例例2 设设 为为3阶实对称矩阵阶实对称矩阵, 的特征值为的特征值为 求求解解: 由于由于 是实对称矩阵是实对称矩阵,故故 必可对角化必可对角化,且且～～例例3 设三阶实对称矩阵设三阶实对称矩阵 的特征值为的特征值为-1,1,1,与特与特征值征值-1对应的特征向量为对应的特征向量为 ,求求即即解之得基础解系解之得基础解系故故 就是对应于就是对应于 的特征向量的特征向量.解解:设与特征值设与特征值 对应的特征向量为对应的特征向量为由于实对称矩阵不同特征值所对应的特征向由于实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量一定正交量一定正交,故故又又 的对应于二重特征值的对应于二重特征值 的线性无关的特的线性无关的特征向量一定有两个征向量一定有两个,记记于是于是例例4 设设 是两个是两个 阶实对称矩阵阶实对称矩阵,证明证明 相似相似的充要条件是的充要条件是 有相同的特征值有相同的特征值.证明证明若若A与与B 有相同的特征值有相同的特征值.记特征值为记特征值为由相似矩阵的传递性知由相似矩阵的传递性知 A与与B 相似相似.因为实对称矩阵因为实对称矩阵A与与B 必可对角化必可对角化 ,所以所以若若 A与与B 相似相似,由相似矩阵的性质由相似矩阵的性质, A与与B 一定有相同的特征值一定有相同的特征值.1.　对称矩阵的性质：　对称矩阵的性质：小结小结 (1) (1)特征值为实数；特征值为实数；　　 (2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；特征向量的个数相等； (4)(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．且对角矩阵对角元素即为特征值．2.　利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：　利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：　　 (1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特征向将特征向量正交化；量正交化；(4)单位化．单位化．思考题思考题1思考题思考题1解答解答思考题思考题2思考题思考题2解答解答。