第一讲__数列的极限典型例题.doc

第一讲 数列的极限一、 内容提要1.数列极限的定义，有.注1 的双重性.一方面,正数具有绝对的任意性,这样才能有 无限趋近于另一方面,正数又具有相对的固定性,从而使不等式.还表明数列无限趋近于的渐近过程的不同程度,进而能估算趋近于的近似程度.注2　若存在，则对于每一个正数，总存在一正整数与之对应，但这种不是唯一的，若满足定义中的要求，则取，作为定义中的新的一个也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个则必存在无穷多个正整数可作为定义中的．注3　的几何意义是：对的预先给定的任意邻域，在中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入．注4　，有.2.　子列的定义在数列中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为的子列，记为，其中表示在原数列中的项数，表示它在子列中的项数．注1 对每一个，有．注2 对任意两个正整数，如果，则．反之，若，则．注3 ，有.注4 的任一子列收敛于.3.数列有界对数列，若，使得对，有，则称数列为有界数列．4.无穷大量对数列，如果，，有，则称为无穷大量，记作．注1 只是一个记号，不是确切的数．当为无穷大量时，数列是发散的，即不存在．注2 若，则无界，反之不真．注3 设与为同号无穷大量，则为无穷大量．注4 设为无穷大量，有界，则为无穷大量．注5 设为无穷大量，对数列，若，使得对，有，则为无穷大量．特别的，若，则为无穷大量．5.无穷小量若，则称为无穷小量．注1 若，有界，则．注2 若，则；若，且使得对，，则．6.收敛数列的性质（1）若收敛，则必有界，反之不真．（2）若收敛，则极限必唯一．（3）若，，且，则，使得当时，有．注 这条性质称为“保号性”，在理论分析论证中应用极普遍．（4）若，，且，使得当时，有，则．注 这条性质在一些参考书中称为“保不等号（式）性”．（5）若数列、皆收敛，则它们和、差、积、商所构成的数列，，，（）也收敛，且有　　　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　　（）．7. 迫敛性（夹逼定理）若，使得当时，有，且，则．8. 单调有界定理单调递增有上界数列必收敛，单调递减有下界数列必收敛．9. Cauchy收敛准则数列收敛的充要条件是：，有．注　Cauchy收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据．尽管没有提供计算极限的方法，但它的长处也在于此――在论证极限问题时不需要事先知道极限值．10.Bolzano Weierstrass定理有界数列必有收敛子列．11. 12.几个重要不等式(1) (2) 算术－几何－调和平均不等式： 对 记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值)有均值不等式: 等号当且仅当时成立.（3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对 由二项展开式 （４）Cauchy－Schwarz 不等式:　(),有　　　　　　（５），13.　O. Stolz公式二、典型例题1．用“”“”证明数列的极限．（必须掌握）例１　用定义证明下列各式：（１）；（２）设，，则；（97，北大，10分）（３）证明：（１），欲使不等式　　　　　　　成立，只须，于是，，取，当时，有　　　　　　　即 ．（２）由，，知，有，则 于是，，有，即　　　　　　　　　　　　　．（３）已知，因为，所以，，欲使不等式成立，只须．　　于是，，取，当时，有　　　　　　，即　　　　　　　　．评注１　本例中，我们均将做了适当的变形，使得，从而从解不等式中求出定义中的．将放大时要注意两点：①应满足当时，．这是因为要使，必须能够任意小；②不等式容易求解．评注２　用定义证明，对，只要找到一个自然数，使得当时，有即可．关键证明的存在性．评注３　在第二小题中，用到了数列极限定义的等价命题，即：（１），有（为任一正常数）.（２），有.例２　用定义证明下列各式：（１）；（92，南开，10分）（２）证明：（１）（方法一）由于（），可令（），则（）当时，，有　　　　　　即　　　　　．，欲使不等式成立，只须．于是，，取，当时，有，即　　　　　　　　．（方法二）因为，所以，，欲使不等式成立，只须．于是，，取，当时，有，即　　　　　　　　．（２）当时，由于，可记（），则（）当时，，于是有 ． ，欲使不等式 成立，只须． 对，取，当时，有 ．当时，（），而．则由以上证明知，有，即 ，故 ．评注１　在本例中，，要从不等式中解得非常困难．根据的特征，利用二项式定理展开较容易．要注意，在这两个小题中，一个是变量，一个是定值．评注２　从第一小题的方法二可看出算术－几何平均不等式的妙处．评注３　第二小题的证明用了从特殊到一般的证法．例　用定义证明：（）（山东大学）证明：当时，结论显然成立．当时，欲使成立，只须．于是，取，当时，有即　　　　　　　　　　　　　　　．例　设，用“”语言，证明：．证明：当时，结论恒成立．当时，，欲使只须．于是，取，当时，有即　　　　　　　　　　　　　　　．2.迫敛性（夹逼定理）项和问题可用夹逼定理、定积分、级数来做，通项有递增或递减趋势时考虑夹逼定理．，，有界，但不能说明有极限．使用夹逼定理时，要求趋于同一个数．例 求证：（为常数）．分析：，因为固定常数，必存在正整数，使，因此，自开始，，， ，且时，．证明：对于固定的，必存在正整数，使，当时，有，由于，由夹逼定理得，即 ．评注 当极限不易直接求出时，可将求极限的变量作适当的放大或缩小，使放大、缩小所得的新变量易于求极限，且二者极限值相同，直接由夹逼定理得出结果．例 若是正数数列，且，则 ．证明：由，知即 ．于是，，而由已知及故 由夹逼定理得 ．评注1 极限四则运算性质普遍被应用，值得注意的是这些性质成立的条件，即参加运算各变量的极限存在，且在商的运算中，分母极限不为0．评注2 对一些基本结果能够熟练和灵活应用．例如：（1）（） （2）（）（3）（） （4）（5）（） （6）例　证明：若（有限或），则（有限或）．证明：（１）设为有限，因为，则，有.于是．其中为非负数．因为，故对上述的，有．取当时，有即　　　　　　　　　　　　　　　．（２）设，因为，则，有，且．于是　　　 　　　　　　　　　　　取，当时，，于是．即　　　　　　　　　　　　（３）时证法与（２）类似．评注１　这一结论也称Cauchy第一定理，是一个有用的结果，应用它可计算一些极限，例如：（１）（已知）；（２）（已知）．评注２　此结论是充分的，而非必要的，但若条件加强为“为单调数列”，则由可推出．评注３　证明一个变量能够任意小，将它放大后，分成有限项，然后证明它的每一项都能任意小，这种“拆分方法”是证明某些极限问题的一个常用方法，例如：若，（为有限数），证明：．分析：令，则．只须证　　　　（）由于，故，有．于是再利用（）即得．例　求下列各式的极限：（１）（２）（３）解：（１）∵，，由夹逼定理，∴（２）∵，由夹逼定理，∴．（３）∵，∴．∵，由夹逼定理，∴．评注　的极限是１，用此法体现了“１”的好处，可以放前，也可放后．若极限不是１，则不能用此法，例如：，求．解：∵，单调递减，单调递减有下界，故其极限存在．令，∵∴，　，∴，即　　　　　　　　　　　　　．（中科院）评注　拆项：分母是两项的积，　　　插项：分子、分母相差一个常数时总可以插项．３单调有界必有极限常用方法：①；②；③归纳法；④导数法．　　　　　　　　　　单调递增　　　　　　　　　　　　　　　单调递减　　　　　　　　　　不解决决问题．命题：，若单调递增，且（），则单调递增（单调递减）．例 求下列数列极限：（1）设，，；（98，华中科大，10分）（2）设，；（04，武大）（3）设，，（）．（2000,浙大）解：（1）首先注意，所以为有下界数列．另一方面，因为 ．（或）故为单调递减数列．因而存在，且记为． 由极限的四则运算，在两端同时取极限，得．并注意到，解得．（2）注意到，于是为有界数列．另一方面，由知．即与保持同号，因此为单调数列，所以存在（记为）．　　由极限的四则运算，在两端同时取极限，得．并注意到，解得．（3）由于,又,所以 ．评注１　求递归数列的极限，主要利用单调有界必有极限的原理，用归纳法或已知的一些基本结果说明数列的单调、有界性．在说明递归数列单调性时，可用函数的单调性．下面给出一个重要的结论：设（），若在区间上单调递增，且（或），则数列单调递增（或单调递减）．评注2　第三小题的方法较为典型，根据所给的之间的关系，得到与的等式，再利用错位相减的思想，将数列通项写成级数的表达式．例　设为任意正数，且，设，（），则，收敛，且极限相同．证明：由，知　　　　　　　　　　　　．则，即为单调有界数列．又，且，所以亦为单调有界数列．由单调有界必有极限定理，与存在，且分别记为与．在与两端同时取极限，得与．考虑到为任意正数且．即得．例　（1）设，，求；（2）设，，且（），求．解：（1）假设存在且等于，由极限的四则运算，在两端同时取极限，得，即．又，故．下面只须验证数列趋于零（）．由于，而，由夹逼定理得．（2）由，知　　　　，则　　　　　　　　．假设存在且等于，由极限的四则运算，得．下面只须验证数列趋于零（）．由于．显然，由夹逼定理得．评注１　两例题中均采用了“先求出结果后验证”的方法，当我们不能直接用单调有界必有极限定理时，可以先假设，由递归方程求出，然后设法证明数列趋于零．评注２　对数列，若满足（），其中，则必有．这一结论在验证极限存在或求解递归数列的极限时非常有用．评注３　本例的第二小题还可用Cauchy收敛原理验证它们极限的存在性．设>0，＝＋，证明＝1（04，上海交大） 证 （1）要证＝1 ，只要证，即只要证，即证（2）因＝＋，故， 因此只要证，即只要证（3）由知，单调。