芬斯勒几何一个充满生机的数学领域.doc

芬斯勒几何:一种布满生机的数学领域标签: 曲率  度量  数学家  研究  空间 －12－02 2０:10阅读(40)评论（0) 历史沿革     18５4年,黎曼出名演讲［１]发展了一类基于弧长元素ｄｓ=F(ｘ1,…,ｘn,ｄx1，…，dxn)的度量几何（最初叫广义度量空间理论）.一种重要的特殊情形是F２(x,dx)=gij(ｘ)dxｉdxｊ.由此拟定的几何即是被后人命名的黎曼几何．黎曼在黎曼几何中引进了曲率概念,推广了高斯在二维曲面上的工作.对于一般的广义度量,黎曼给出了一种具体例子:         Ｆ(x,y）={(y1)4+…+（ｙｎ）４}１／4，y=dｘ. 黎曼断言基于这种广义度量的微分几何可以像黎曼几何同样得到发展，但她觉得计算将非常复杂,因此很难对微分不变量赋予恰当的几何意义.最后黎曼只研究了具有二次型限制的度量,即黎曼度量.19，Ｈilbert在巴黎刊登了有关２3个数学问题的出名演讲，一般情形的广义度量空间理论涉及在第２3个问题“变分法”中.在随后的几年中，某些数学家从变分法的几何解决出发研究了广义度量.其中的重要代表人物就是G．Landｓbeｒg,她在19引入了后来被L.Bｅrｗaｌd称为Ｌandsberｇ曲率的几何量，这是芬斯勒几何中的第一种非黎曼几何量． ﻫ    19，芬斯勒(Ｐauｌ Finsleｒ,1894-１9７0）在哥延根大学完毕了她的博士论文．在论文中，芬斯勒研究了广义度量，引入了所谓的基本张量ｇｉj（x,y)＝(2F2／yiyi)/2,和C-张量(我们目前称为Cａrtan张量） ﻫCｉｊk(x,y)=(gｉｊ/yk)/2.在黎曼几何情形，ｇｉｊ(x,ｙ)正是基本张量gij(x)．Cａrｔａｎ张量是非常重要的,由于它刻划了一种芬斯勒流形偏离黎曼流形的限度.事实上,一分芬斯勒度量是黎曼度量的充足必要条件是Carｔan张量恒为零．１92７年,J．H.Taｙｌｏr将广义度量空间的几何称为芬斯勒几何（目前人们也称其为黎曼-芬斯勒几何). ﻫ    对芬斯勒几何真正作出重要奉献的第一位数学家应当是Luｄwig　Berwaｌd(18８３－19４2），她是第一种在芬斯勒空间中引入联系并将黎曼几何中的黎曼曲率推广到芬斯勒几何中的数学家[2,３］．Berwald联系满足无挠（torsionfree)条件但并不与度量相容.Bｅrｗald的奉献还在于：（1）运用Ｂerｗａld联系刻划了Lanｄsberｇ曲率,定义了Ｌaｎｄsbeｒｇ空间[3]．(2）引入了一类重要的、她称之为仿射连通空间的芬斯勒空间（1９25年）（１938年,V.V．Wagner命名此类空间为Beｒwａld空间）.黎曼空间和局部Mｉnkｏwｓｋi空间均是特殊的Berwald空间.1981年，Sｚａｂó证明了:除黎曼空间和Ｍｉｎkowski空间外,正好存在５４类不可约和整体对称非黎曼Beｒwalｄ空间,使得所有其他单连通和完备的Bｅｒwaｌd空间都能整体地分解为上述56种空间的笛卡尔积［4]．(3)研究和发展了二维芬斯勒空间理论（1927年,1941年）.（４）在她身后刊登的论文（1９47年）中,她定义和讨论了具有标量旗曲率和常数旗曲率的芬斯勒度量,开创了芬斯勒几何中的一种重要研究领域.     193３年，法国出名数学家Elｉe Ｃartaｎ（18６9－1951)刊登了她的第一篇有关芬斯勒几何的论文,主题是有关芬斯勒度量的共形变换的若干注记,同步预告了她的拟定一种芬斯勒空间联系的公理系统．1934年,Cａrtaｎ刊登了她有关芬斯勒几何的出名论文[5]，具体简介了她的拟定芬斯勒空间联系（我们称之为Ｃａrtan联系)的公理系统.Ｃａrtan引入了线性元（ｌiｎｅ　eleｍenｔ)空间(即射影化切丛PTM)概念，将她的欧氏联系理论推广到了芬斯勒空间.Caｒtan联系不满足无挠条件，但与芬斯勒度量是相容的．Caｒｔan联系与Beｒｗaｌd联系及其相应的各类曲率张量对后来的芬斯勒几何研究产生了重要影响,并增进了芬斯勒几何在物理学、生物（态)学等领域中的应用研究．1９41年，G．Raｎdｅrs从广义相对论的研究中引出了一种形如F(x,y)=α（x，y)+β（x,ｙ）的芬斯勒度量，其中α(ｘ，y)为一种黎曼度量,代表引力场；β(x,y）＝bｉ(x)yi为一种1-形式,代表电磁场.Ｒandｅrｓ度量在电子显微镜及统一场论等领域的研究中有重要应用，在芬斯勒几何的研究中也扮演了一种非常重要的角色．     对任意芬斯勒流形(Ｍ，Ｆ)在ＰTM上有一种整体定义的微分形式ω:＝Fyiｄxi,称为Hilｂert形式.(M,F)上曲线的长度恰由ω的积分给出.194３年，数学大师陈省身专家从Hilbeｒt形式的外微分出发研究了芬斯勒空间中的欧氏联系,构造了我们目前称之为Chｅrn联系的一类重要联系［6].Ｃｈeｒn联系满足无挠条件且与度量几乎相容,这也使得它在芬斯勒几何的研究中具有独到的优势.1948年,陈省身专家解决了芬斯勒流形的局部等价性问题：如何才干拟定两个已知的芬斯勒度量构造只差一种坐标变换？这一问题的解决再次波及到了芬斯勒空间中的欧氏联系及其曲率［7].运用Ｃhern联系,人们已将黎曼几何中的许多重要定理推广到了芬斯勒空间，并从其构造方程出发得到了许多芬斯勒流形的非黎曼几何性质(如见[8])． ﻫ    在二十世纪五十年代至六十年代初,有两位数学家是值得一提的．一位是Ｈerbeｒt Busemａnn，她研究和讨论了芬斯勒空间的体积形式,为人们研究芬斯勒空间的体积比较定理、探讨芬斯勒流形的整体性质奠定了基本；她还强调了研究Minkｏwsｋi何的重要性，扩展了人们对芬斯勒空间的结识．另一位是南非数学家Hanno Rund，她是这一时期在芬斯勒几何领域的一位代表人物.H．Ruｎd的著作［9]曾鼓励了许近年轻数学家开始研究芬斯勒几何.在这一时期还崛起了两个重要的芬斯勒几何研究群体：以Ｂerwaｌd的学生Ｏ.Vａｒga为代表的匈牙利研究群体和以Ｔ．Ｏkada及M.Mａtsｕmoto为代表的日本研究群体，她们的研究工作对后来芬斯勒几何的发展产生了深刻影响. ﻫ    当我们在回忆芬斯勒几何的发展历程时，也应当注意到这样一种事实:自芬斯勒几何在19诞生之后的近七十年间，芬斯勒几何没有得到像黎曼几何那样的繁华和普及，许多重要内容并未得到人们的注重.一种重要因素是由于计算的相对复杂性,一种简朴的公式往往会随着计算的进一步不久变得非常复杂，客观上制约了芬斯勒几何的发展．另一种重要的因素是,当时的许多几何学家只是把芬斯勒空间片面地看作黎曼空间的推广而仅仅致力于将黎曼几何中的成果推广到芬斯勒几何,却对芬斯勒几何中的非黎曼几何量（即那些在黎曼流形上为零的几何量)结识局限性,忽视了对芬斯勒几何中那些与黎曼几何不同的性质和构造的研究.幸运的是这种状况从上世纪九十年代初开始有了主线的变化.这一方面要感谢数学大师陈省身先生的大力倡导和鼓励.凭着对芬斯勒几何的深刻理解和洞察力，陈先生与美籍华人数学家沈忠民及D.Bａo等人在这一时期刊登了一系列重要成果（如见[8,1０]),将芬斯勒几何带入了一种真正繁华的时期.同步,我们已处在一种科技时代,运用计算机进行符号计算和大规模计算已成为现实,这极大地增进了对芬斯勒几何的研究.如人们已构造出大量具有重要曲率性质的芬斯勒度量,为对芬斯勒度量进行进一步研究提供了重要启示和支撑.近年来，芬斯勒几何得到迅速而长足的发展.芬斯勒几何中的多种曲率(黎曼几何量与非黎曼几何量）已得到广泛关注和研究，它们对芬斯勒空间构造的影响也越来越为人们所理解(如见[1１]).与此同步,芬斯勒几何的理论与措施在数学及其他众多自然科学领域中的应用价值也日益突出(如见［12,13]).芬斯勒几何已显现出布满勃勃生机的发展势头. ﻫ    2　芬斯勒几何的若干重要进展     芬斯勒几何中的旗曲率(flag ｃuｒvature)是黎曼几何中截面曲率的自然拓广.给定流形Ｍ上的一种芬斯勒度量F，旗曲率是切平面P和Ｐ中方向ｙ的函数K=Ｋ(P,y).如果旗曲率只是切丛ＴM\{0｝上的标量函数Ｋ＝K（x，ｙ），我们称F具有标量旗曲率(scalar fｌag cuｒvａgurｅ)．特别地,若K＝常数，我们称F具有常数旗曲率.芬斯勒几何中的一种重要问题是研究和刻划具有标量（常数)旗曲率的芬斯勒度量，这也是芬斯勒几何学家十分关注的一种热点问题.芬斯勒几何中与此有关的另一重要问题是研究和刻划射影平坦芬斯勒度量，这是正则情形下的Hiｌｂｅrt第四问题.一种重要的基本领实是:射影平坦芬斯勒度量必然具有标量旗曲率.在黎曼几何情形,Beltraｍi证明了：一种黎曼度量是射影平坦的充足必要条件是它具有常曲率.然而，我们可以找到无穷多种具有标量(常数)旗曲率的芬斯勒度量,它们是非射影平坦的.人们也已找到了许多具有标量旗曲率的芬斯勒度量，它们的旗曲率不是常数.这表白刻划和分类具有标量(常数)旗曲率的芬斯勒度量的工作远比黎曼几何情形复杂,其内容也比黎曼几何情形要丰富得多.由于计算的相对复杂性,对特殊情形的研究和例子在芬斯勒几何中是非常重要的.芬斯勒几何学家一方面对Randerｓ度量作了大量进一步研究.，美籍华人数学家沈忠民(Ｚ.Ｓhen)一方面完毕了对射影平坦且具有常数旗曲率的Ｒａndｅｒs度量的分类;然后,她又分别运用Ｔaylｏr展开式和代数方程刻划了射影平坦且具有常数旗曲率的芬斯勒度量的局部度量构造;在此基本上,沈忠民与D.Bａｏ等人运用黎曼流形上的Zermeｌo导航术完毕了对具有常数旗曲率的Ｒanders度量的分类（见[11］）.日本数学家M.Mａｔsumoto等人也对具有常数旗曲率的Randers度量的分类作了大量工作（如见［13]).进一步,人们研究了一类比Raｎders度量更一般化且在生物（态）学、物理学等领域中有重要背景的芬斯勒度量——(α,β)－度量.（α,β)-度量是一类非常丰富的可计算的芬斯勒度量，它们在芬斯勒几何中扮演了一种非常重要的角色.近年来,人们之因此能对芬斯勒几何中的多种曲率展开研究并能更好地理解其几何意义，这要部分地归功于对（α,β)-度量的研究.人们目前已完全拟定了某些重要而特殊的射影平坦且具有常数旗曲率的(α,β）－度量的局部构造，为拟定一般的射影平坦且具有常数旗曲率的芬斯勒度量的局部构造提供了有力支撑,也丰富了这一领域的研究内容. ﻫ    在芬斯勒几何中存在若干重要的几何量（如(平均)Ｃartan张量、S曲率、(平均)Laｎdsｂｅｒg曲率、(平均）Ｂｅrwalｄ曲率等），它们在黎曼空间中是等于零的,因而被称为非黎曼几何量．我们说,黎曼几何量(如旗曲率，Ricｃi曲率等）刻划空间的形状，而非黎曼几何量则描述空间的“色彩”.已有的研究表白：芬斯勒度量的旗曲率与非黎曼几何量有密切联系.因此，在研究具有标量（常数)曲率的芬斯勒度量的构造和性质的时候，人们自然地要考虑度量所满足的某种非黎曼曲率(几何量)性质.华人数学家在这一领域的研究中得到了一系列重要成果：刻划了具有标量旗曲率且具有迷向Ｓ曲率的芬斯勒度量的旗曲率，并一方面完毕了对局部射影平坦且具有迷向S曲率的Randers度量的分类;更一般地,运用Zerｍelo导航术思想，完毕了对具有标量旗曲率且具有迷向S曲率的Ranｄers度量的分类；进而又完毕了对局部射影平坦且具有迷向Ｓ曲率的芬斯勒度量的分类.人们也对具有其他非黎曼曲率性质(如具有相对迷向的(平均)Landｓberg曲率）的芬斯勒度量作了大量研究，得到了一系列富故意义的成果.有关这方面的工作可参见[11,14,15].这一方向的研究正方兴未艾，对进一步研究具有标量(常数)旗曲率的芬斯勒度量的构造和性质有重要意义,对揭示此类度量的神秘面纱必将产生深远的影响. ﻫ    芬斯勒几何学家在刻划芬斯勒度量局部构造方面获得的成果为研究芬斯勒度量的整体性质奠定了重要基本,为对芬斯勒度量作整体分析提供了大量例子.近十几年来，芬斯勒几何学家对芬斯勒度量的整体性。