大一微积分复习总结.docx

微积分期中复习第一章 函数与极限一、函数1、数轴、区间、领域2、函数的概念：设有两个变量和，如果当某非空集合内任取一个数值时，变量按照一定的法则(对应规律)，都有唯一确定的值与之对应，则称是的函数记作，其中变量称为自变量，它的取值范围称为函数的定义域；变量称为因变量，它的取值范围是函数的值域，记作，即 函数的表示：函数的表示有三种 公式法、表格法和图示法3、函数的几种特性 函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性4、初等函数 (1) 基本初等函数① 幂函数：(为任意实数)， ， ② 指数函数：(且) ③ 对数函数：(且) 恒等式： 换底公式： 运算的性质：，④ 三角函数：⑤ 反三角函数：2) 反函数：(3) 复合函数：5、常见的经济函数 (1) 成本函数、收益函数和利润函数 ， ， (2) 需求函数与供给函数 二、极限的概念与性质1、数列的极限(1) 数列(2) 数列极限的定义(3) 数列极限的几何意义2、函数的极限(1) 当自变量时函数的极限(2) 当自变量时函数的极限(3) 左右极限3、函数极限的主要性质 极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。

三、极限的运算1、极限的运算法则2、两个重要极限(1) 极限存在的准则 数列极限的夹挤定理、函数极限的夹挤定理和单调有界数列必有极限2) 两个重要极限 3、无穷小量和无穷大量(1) 无穷小量的定义(2) 无穷小量的性质① 有限个无穷小量的和、差、积仍然为无穷小量；② 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量3) 无穷小量的比较 高阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小无穷小量的替换四、函数的连续性1、函数连续的概念(1) 函数在一点处连续的定义设函数在点的某领域内有定义，如果，则称函数在点处连续 函数在点处连续必须满足下列3个条件：② 在点有定义，即有确定的函数值；② 极限存在，即左右极限，存在且相等③ ()，即极限值等于函数值2) 函数在区间上连续的定义 函数在内每一点连续，称在闭区间内连续 函数在内每一点连续，且在右连续，在点作连续，则称在闭区间上连续2、连续函数的运算与初等函数的连续性 (1) 连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连续函数；(2) 连续函数的复合函数仍是连续函数；(3) 基本初等函数在其定于内都是连续的3、函数的间断点(1) 间断点的定义(2) 间断点的分类第一类间断点：① 若函数当时，左右极限都存在但不相等， 跳跃间断点② 若函数当时，左右极限都存在且相等，但是不等于函数值或函数值无定义， 可去间断点第二类间断点：除了第一类间断点外，其他间断点都称为第二类间断点。

4、闭区间上连续函数的性质 最值性、介值性、零值定理第二章 导数与微分一、导数的概念1、引例(1) 平面曲线上切线的斜率(2) 总产量对时间的变化率2、导数的定义 (函数在一点可导的定义)设函数在点的某领域有定义，当自变量在点处取得该变量，即自变量从改变到(，点仍在该领域内)时，函数取得相应的该变量为 ，若当时，比值的极限存在，即 存在，则称此极限值为函数在点处的导数，记为 ，，，即 此时，称函数在点处可导 (函数在区间可导的定义)若函数在区间内每一点处都可导，则称函数在区间内可导这时对于任一个，都对应着函数的一个确定的到数值，这样就构成了一个新的函数，称此函数为的导函数，简称导数，记作 ，，，即 3、导数的几何意义 函数在点处的导数在几何上就表示了曲线在点处切线的斜率4、左导数与右导数 如果极限存在，则称此极限值为在点处的左导数，记作，即 ， 如果极限存在，则称此极限值为在点处的右导数，记作，即 。

显然，在点处可导的充要条件是在点处的左右导数存在且相等，即 如果函数在开区间内可导，且与存在，则称在上可导5、函数可导与连续的关系 若函数在点处可导，则函数在点处连续(即可导必连续)二、导数的基本公式与运算法则1、函数和、差、积、商的求导法则 ()2、反函数的求导法则 设函数在某一区间内单调、可导，且，则它的反函数在对应区间内也单调可导，且有 3、复合函数的求导法则 4、导数的基本公式5、隐函数求导法则6、对数求导法则三、高阶导数 重点是二阶导数四、参数式函数的导数 参数方程的求导法则，难点是参数方程的二阶导数应用是求曲线的切线和法线方程五、函数的微分1、微分的定义 设函数在点的某个领域内有定义，自变量自取得该变量(，点仍在该领域内)，若函数的相应该变量 ，克表示为 其中是只与有关而与无关的常数，是当时比高阶的无穷小量，则称函数在点处可微，并称为函数在点处的微分，记作 ，，， 即 当时，也称为的线性主部。

函数在点可微的充分必要条件是函数在点处可导，此时，2、微分的几何意义3、微分的运算4、微分形式不变性5、微分在近似计算中的应用 ， ，或 有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦）一、 （系数不为0的情况）二、重要公式（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11）三、下列常用等价无穷小关系（） 四、导数的四则运算法则 五、基本导数公式⑴ ⑵ ⑶⑷ ⑸ ⑹⑺ ⑻⑼ ⑽ ⑾⑿ ⒀ ⒁⒂ ⒃⒄⒅六、高阶导数的运算法则（1） （2）（3） （4）七、基本初等函数的n阶导数公式（1） （2） (3)(4)(5) (6) (7) 八、微分公式与微分运算法则⑴ ⑵ ⑶⑷ ⑸ ⑹⑺ ⑻⑼ ⑽ ⑾⑿ 　⒀ ⒁⒂ ⒃九、微分运算法则⑴　　　　　　　　　　　⑵⑶　　　　　　　　　　　⑷十、基本积分公式⑴ ⑵ ⑶⑷ ⑸ ⑹⑺ ⑻⑼ ⑽ ⑾第一章练习题选择题1、设函数，则( )。

DA.0； B. ； C.1； D.不存在2、设函数，则是的( )DA.连续点； B.可去间断点；C.第一类(非可去)间断点； D.第二类间断点3、设函数在内有定义，且 则( )DA.必是的第一类间断点；B. 必是的第二类间断点；C. 必是的连续点； D.在点处的连续性与的取值有关4、当时，是的( )CA.高阶无穷小量； B.低阶无穷小量；C.同阶但非等价无穷小量； D.等价无穷大量5、若( )，则当时，与为等价无穷小量D A.2； B.3； C.5； D.6.6、若z在上有定义，，且则( )DA. 必是的地一类间断点； B. 必是的地二类间断点；C. 必是的连续点； D. 在点处的连续性与的取值有关7、设函数在上连续，且，则常数满足( D )A．； B．； C．； D．8、设，则( )AA. ； B. ； C. ； D.不存在。

填空题1、 12、 3、，则 2 4、，则 ， 2，-1 5、函数在 时为无穷大量1 6、函数在 或 时为无穷小量0 7、若函数在上连续，则 2 8、 9、若函数在处连续，则的取值范围是 10、设为正整数，则 11、 12、 13、 14、 计算题1、； 2、 13、； 4、； 5、 6、 7、设，已知在处连续，试确定和的值 8、当和正数为何值时，函数在点处连续？ 9、设函数问为何值时，在点连续 证明题1、证明下列方程必有实根：(1) ； ，(2) 。

，2、设函数与在点处连续，证明函数在点处也连续解：3、4、第二章练习题填空题1、设，则 2、的导数 3、设方程确定的隐函数，则 4、设，且，则 提示：用替换，得， 。