高数简要概述.pdf

高数简单表述去心邻域：把开区间 （a - δ ,a+ δ )称为点 a 的δ 邻域，记为 N(a,δ ),并称点 a 为该邻域的中心，正数δ 为该邻域的半径， 还可表示为 |x-a| 0，?x ∈X使 f x≤M → f x 有界； ?M > ?? ,?x0∈X使 f x0> ??→ ??x 无界sin ??±sin ??= 2 sin12??±??cos12??? ??cos??+ cos??= 2 cos12?? + ?? cos12?? - ??sin α cos β=12[sin α + β + sin α - β ]cos α sin β=12[sin α + β - sin α - β ]cos α cos β=12[cos α + β + cos α - β ]sin α sin β= -12[cos α + β - cos? (α - β )]复合函数：设 y=f(u) 中 u∈ U,u= φ (x)中 x∈ X,其值域U?∩U ≠?,则 y=f( φ (x)), x ∈X叫复合函数基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数初等函数：由基本初等函数与常数经有限次四则运算及有限次复合所得函数叫初等函数，包括幂指函数，双曲函数和反双曲函数。

双曲函数及其运算性质：双曲正弦： shx =12(ex- e- x)双曲余弦： chx =12(ex+ e- x)双曲正切： thx =shxchx=ex- e- xex+e- x双曲余切： cthx =chxshx=ex+e- xex- e- xch2x - sh2x = 1ch2x = sh2x + ch2xsh2x = 2shxchxch x ±y= chxchy ±shyshysh x ±y= shxchy ±chxshy反双曲函数：反双曲正弦函数 y = arshx = ln? (x +x2+ 1)反双曲余弦函数 y = archx = ln? (x +x2- 1)反双曲正切函数 y = arthx =12ln1+x1- x非初等函数：不可解隐函数和参数方程曲线切线：曲线割线的极限位置y=f(x) 在x0处的导数为：limΔ x→0Δ y Δ x=limΔ x→of x0+ Δ x - f(x0) Δ x= y|x=x0=dydx|x=x0=df(x)dx|x=x0f(x) 在开区间可导指f(x)在开区间每一点处都可导导函数：dydx=df(x)dx= limΔ x→0f x+ Δ x - f(x)Δ x法线：过切点与切线垂直的线是法线。

函数极限： ?? > 0，?δ> 0，s.t. 当 0 0，?δ> 0,s.t.y=f(x) 在N(x0,δ )的弧段落在y=A ± ?之间左极限： limx→x0-f x =limx→x0- 0f x= f x0- 0 = A.右极限是把左极限中的 -换为+ 单侧极限定义类似于极限limx→x0f x= A ? limx→x0-f x =limx→x0+f x .?? > 0,???> 0?? .?? .|x| > ?? 时|f x -A| limx→x0g(x) → f x >??x .局部保序的推论：局部保号和f(x) ≥0(≤0) → limx→x0f x≥0(≤0)无穷小量：若limx→x0f x= 0，则 f(x)是无穷小（量）(αx 或 ○ (x) 极限基本定理： limx→x0f x= A ?f x = A+ α (x) .若局部 |f(x) |> ??,则 f(x) 为无穷大(量) 若局部 f(x)>0 且 f(x)为无穷大量，则 f(x)为正无穷大负无穷大类似定理：若f(x)是无穷大，则1f(x)是无穷小；若 f(x)是无穷小，且 f(x)≠0,则1f(x)是无穷大。

运算性质：若f(x) 是无穷大：g(x) 有界，则 f(x)+g(x) 是无穷大； g x≥M,则 f(x)g(x) 是无穷大定理：有限个无穷小的和是无穷小；若g x≤M，则limx→g x αx = 0 →limx→kα (x) = 0/ 有限个无穷小的乘积是无穷小；limx→f x ±g x= limx→f x ±limx→g x →limx→Cf x = Climx→f(x) 、limx→f x g x=limx→f x limx→g x → lim ? [ x→f x ]k=[limx→f(x)]klimx→f(x)g(x)=limx→f(x)limx →g(x)，复合函数求极限法则：limx→x0f φ x=u= φ(x)= limu→u0f(u) 夹逼准则：若g(x) ≤f(x) ≤h x 且limx→x0g x=limx→x0h x = A，则limx→x0f x = A，特殊的，若bn≤an≤cn且limn→∞bn= limn→∞cn= L，则limn→∞an= L单调有界准则： 若 f(x)在(a,b)单调有界，则 ? limx→a+f(x) / limx→b-f(x) ，对limx→∞f(x) 同理。

→若 an单调有界，则an收敛 两个重要极限：limx→0sin= 1;limx→∞1 +1= limx→01 +1 = e无穷小比较：若α 、β 是无穷小， 则：若 limβα=C,则α 、β 是同阶无穷小（β =O( α )）;若 limβα=1 ，则α 、β 是等价无穷小（ α ~β ）; 若 limβα=0, 则β 是比α 高阶的无穷小或α 是比β 低阶的无穷小（ β= o(α )）;若limβαk=C, 则β 是关于 α 的?? 阶无穷小特别的，当limx→x0αx- x0??= C时，称 α 是x → x0时关于基本无穷小 x → x0的?? 阶无穷小同阶无穷大、等价无穷大、高阶无穷大和低阶无穷大类似若α 、β 、α 、β 是无穷小， 且α ~α 、β ~β ，limβα 存在，则limβα= limβα 常用无穷小代换：当x →0时，~ ??????~?????? ~????????????~ ????????????~ ln 1 +~?- 1,??- 1~ ln ???，1 -????? ~22, 1 +μ - 1~μ ??两个无穷小量等价的充要条件： α ~ β? α- β= o β =o α若α ~β ，则β 是α （或α 是β ）的主部。

特别的，若 x → x0时，α??~?? ??- ??0，则称?? ??- ??0是无穷小量的线性主部连续：limΔ ??→0Δ ?? = 0，lim??→ ??0???? = ????0或?? > 0，?δ> 0，使局部 ???? - ????0< ?? 则称函数连续lim??→ ??0???? = ????0?????0- 0= ????0+ 0 = ????0连续函数的四则运算性质：若 ????、? ??连续，则???? ±? ??、????? ??、????? ??也连续且连续具有线性性质 lim??→ ??0??φ ?? = ????0=?? lim??→ ??0φ?? ， 即求复合函数时，与????? 与?? 可交换若 ????在??0连续、 φ ??在??0连续且φ ??0= ??0，则lim??→ ??0= ??φ ??0有限个连续函数构成的复合函数连续定理：若??= ????连续且单调，则 ??= φ ??连续且单调性相同 ;初等函数在定义区间内是连续的第一类间断点：左右极限都存在：①若????0- 0 = ????0+ 0 ，则为可去间断点；② ????0- 0≠ ????0+ 0 ，则为跳跃间断点。

第二类间断点：左右极限至少有一个不存在无穷间断点、振荡间断点等）最值：在区间内 ???? ≤????0（???? ≥????0)则????0是最大值（最小值），统称最值最值定理： ????在 ?? ，?? 连续→????有最值点推论：闭区间连续函数有界 介值定理：闭区间连续函数对最值间的任何值都有区间内一点相对应推论：零点存在定理： ????在 ?? ，?? 连续且???????? < 0 → ????至少有一个零点 ????可导?Δ yΔ x= A + α .定理：????可导→ ????连续单侧导数类似单侧极限定理：????可导? ??-??0= ??+??0求导法则：????±???? = ???? ±???????????? =???????? + ????????→ ??????= ?? ????+???? ?? + ???????? ???? ??=?????? ??-?? ???? ???? ??2????????=1 ???? ????????????=?????????????????→????????=???????????????????????????? = 0??μ= μ ??μ-1????????= ??????????????= -???????? ????????= ?????2?? ???????=-??????2?? ???????= ???????????????????????=-???????????????????= ????????? ???= ?????????? =1???????????? =1???????=1????????????????=11-??2?????????????= -11-??2??????????????=11+ ??2?????????????= -11+ ??2?????? = ???????????? = ????????????????=11+ ??2。

隐函数求导： ①把隐函数看做以 ?? 为中间变量的复合函数②对数求导法 φ ?? ??= ψ ??→????????=ψ ??φ ?? ??= φ ??ρ= ρθ →??= ρθ????? θ ??= ρθ?????? θ→????????=???? ??θ ???? ??θ 二阶导数：y =y 或d2yd x2=ddxdydx,三阶导数：y = y或d3ydx3,n 阶导数： y(n)= fnx=fn - 1(x) =dnydxn=ddxdn - 1ydxn- 1n≥2 的 n 阶导数叫高阶导数莱布尼兹公式：????(?? )=?? ????(??-?? )???? =0??(?? )局部线性近似公式： f(x)≈ f x0+ f x0(x - x0)/ Δ y≈ f x0Δx.当 A 是精确值、 a 是近似值时，绝对误差：|A-a| ；相对误差：|A - a||a| 若|A-a| ≤ δ 则， δ 是绝对误差限，δ|a|是相对误差限微分：若Δ y=A Δ x+o( Δ x）,则 f(x)可微，定义微分 dy=A Δ x 定理：可微? 可导 费马定理：极值点导数为 0； 罗尔中值定理：f(x) 在[a,b] 连续，(a,b)可导，f(a)=f(b), 则至少一点导数是 0。

Lagrange中值定理： f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，存在一点处切线平行于端点连线柯西中值定理： f(x)、g(x) 在[a,b] 连续，(a,b)可导 ,?ξ s.tf b - f(a)g b - g(a)=f(ξ )g(ξ ).洛必达法则：对00，∞∞，0 ?∞，∞- ∞，1∞，∞0，00全部化为00，∞∞，limf(x)g(x)=f(x)g(x).带佩亚诺型余项泰勒公式：f x = f x0+ f x0x - x0+f(x0)2!x - x02+? +fn(x0)n!x - x0n+o(x - x0)n.带拉格朗日型余项的泰勒公式： f x = f x0+ f x0x -x0+f(x0) 2!x - x02+ ? +fn(x0) n !x - x0n+fn +1(ξ )n+1!x - x0n+1. x0=0 的泰勒公式叫麦克劳林公式。