三费马的解析几何思想.ppt

第4讲 平面解析几何的产生——数与形的结合回顾旧知(1)(1)用有序数对表示点的坐标；用有序数对表示点的坐标；(2)(2)把互相关联的两个未知数的代数方程，把互相关联的两个未知数的代数方程， 看成平面上的一条曲线看成平面上的一条曲线. .回忆…笛卡儿的解析几何的 基本思想是什么?导入新课与笛卡儿分享创立解析几何殊荣 的还有比笛卡儿小5岁的费马 (P.d.Fermat，1601～1665），他是17 世纪上半叶最伟大的数学家之一. 费马(P. d .Fermat， 1601～1665）法国著名 数学家，被誉为“业余数 学家之王”.知识与能力教学目标• 了解费马的生平.• 理解费马的解析几何思想.•知道费马与笛卡儿解析几何思想的不同点.过程与方法• 结合学生已经学过的数学知识，对费马解析几何思想有更深的了解.情感态度与价值观•学会从不同的角度思考同一个问题.教学重难点重点重点难点难点•理解费马的解析几何思想.•知道费马与笛卡儿的解析几何思想的不同点.•理解费马的解析几何思想.内容解析费马简介业余数学家之王费马的解析几何费马猜想两种解析几何 思想的比较优先权的争议费马1601年8月17日出生 于法国南部图卢兹附近的博 蒙·德·洛马涅.在大学里专攻 法律，终身职业是律师 .费马 不但有丰富的法律知识，而 且是一个博览群书，见多识 广 的学者.费马简介数学是费马的业余爱好，但在17世纪的 法国还找不到哪位数学家可以与费马匹敌： 他是解析几何的发明者之一；在解决极大、 极小值问题中最早提出导数思想；概率论的 主要创始人以及独承17世纪数论天地的人.一 代数学天才费马堪称是17世纪法国最伟大的 数学家.他被誉为被誉为“业余数学家之王”.业余数学家之王费马大定理（又称费马猜想）： 时，方程 没有正整数解.这个问题曾吸引了欧拉、高斯、柯西等 许多大数学家一试身手，但都无功而返，该 猜想一直悬儿未决.直到1994年，英国数学家 维尔斯经过8年的努力终于证明了此猜想.此时 距离费马提出猜想已经300多年了.费马猜想费马猜想邮票费马的解析几何思想费马论文1629年，在“论平面和 立体轨迹引论”的论文中， 费马取一条水平的直线作 为轴，并在此直线上确定 一点为原点.他考虑任意曲 线和它上面的一般点M.点 M的位置用两个字母A，E 来确定，A表示从原点O沿 轴线到点Z的距离，E表示 从Z到M的距离，ZM与轴 线成固定的角 .这里费马也是用倾斜坐标系，但y 轴没有明显地出现，而且不用负数.费马的解析几何原理只要在最后的方程里出现了两个未 知量，我们就得到一条轨迹，这两个量 之一就描绘出一条直线或曲线.直线的 种类只有一种，而曲线的种类则是无限 的，有圆、抛物线、椭圆等等.费马还提出并使用了坐标的概念， 而且也是用了直角坐标系.他解析的定义 了以下曲线（用现代的符号）:费马还把抛物线 和等轴 双曲线 推广为 的形 式.有方程 确定的曲线，现 在称为费马抛物线（当n＞0时）和费马 双曲线（当n<0时），类似地，他还推广 了阿基米德螺线.注意费马不用负坐标，所以他的方程 不能代表整条曲线，但从他给出一些 复杂的二次方程，可以看出他已经领 会到坐标轴可以进行平移或旋转.1643年，费马描述了自己的三维解析 几何的思想，他第一个把三元方程应用于 三维解析几何，包括柱面、椭圆抛物面、 双叶双曲面和椭圆面.指出含有三个未知量 （即变量）的方程表示一个曲面.1650年，费马在论文“新型二阶或高阶 方程分析中的指标问题”中指出：一个自变 量的方程决定点的作图，两个自变量的方 程决定平面曲线的轨迹的作图.三个自变量 的方程决定空间中曲面的轨迹作图.由对曲线性质的研究，费马得到了一 种相当于微分法的法则.当函数经过极值点 时，函数的前后两个值将是相等的：f(A+E)-f(A)=0.费马把这个设想的等式称为“准等式” ，用E去除这个等式，在令E消失：由此求出的A就是f(x)的极值点 .实际上，这种方法相当于给出了 现代微积分中函数取极值的必要条件.笛卡儿和费马研究解析几何的方法大 相径庭，表达形式也迥然不同:首先，费马主要是继承了希腊人的思想 ，他比较全面系统的叙述了解析几何的基本 原理，但他的重点在完善阿波尼奥斯的工作 且沿用了韦达以字母代表数的思想.两种解析几何思想的比较其次，费马从方程出发研究它的轨 迹，笛卡儿则从轨迹开始建立它的方程 ，前者是从代数到几何，后者是从几何 到代数.从历史发展来看，笛卡儿的几何 学更胜一筹，更具突破性.而笛卡儿则从批判古希腊的传统出发， 走的是革新古代方法的道路.笛卡儿的方 法更具一般性，适用范围更加广泛.当笛卡儿的《几何学》出版时，两位解 析几何发现者之间展开过一场有趣的争论.笛卡儿当时知道费马的许多发现， 但否认自己的解析几何是从费马那里来 的.当笛卡儿《几何学》出版之际，费马 批评说笛卡儿书中没有极大值、极小值 、曲线的切线，以及立体轨迹作图法.优先权的争议笛卡儿回答说:“费马几乎没有做 什么，至少作出了一些不费力气、不 需要预备知识就能得的东西，而自己 的《几何学》第三卷中用了关于方程 性质的全部知识，而费马的说法使人 认为他是我们的极大极小大臣”.但冷静下来后，争论有所缓和，这两 位数学家仍是好朋友.费马虽然批评过笛卡 儿，但他又诚挚地说，他佩服笛卡儿的天 才，但笛卡儿没有像费马那样宽宏大量.两人论战中都有自己的支持者，支持 费马的有帕斯卡等数学家，而追随笛卡儿 的有德扎格等.事实上，费马于1629年发现了解析 几何的基本原理比笛卡儿的发现早8年 ，但其著作直到他死后14年的1679年才 正式出版，比笛卡儿出版晚42年.因此 使笛卡儿在解析几何发明优先权方面占 了上风.但是，笛卡儿与费马研究解析几何的 方法大相径庭，表达方式也不相同.历史公 认的评价是：他们分别用不同的方法，各 自独立地、差不多同时创立了解析几何， 他们共同享有创建解析几何的荣誉.课堂小结•费马是一位业余数学家，但他的数学成 就在17世纪数学史上非常突出，为微积分 、概率论和数论的创立和发展都作出了最 重要的贡献.•早在笛卡儿的《几何学》发表以前，费马 已经用解析几何的方法对阿波罗尼斯某些 失传的关于轨迹的证明作出补充.•他通过引进坐标，以一种统一的方式把几 何问题翻译为代数的语言——方程，从而通 过对方程的研究来揭示图形的几何性质.•费马所用的坐标系与现在常用的直角坐标系 不同，它是斜坐标，而且也没有y轴.。