MBA联考数学排列组合10个方法.doc

排列组合方法总结一、知识点（一）加法原理如果完成一件事有】】类办法，只要选择其中一类办法中的任何一种方法，就可以完成这件事，若第一类办法中有码种不同的方法，第二类办法中有叫种不同的方法，…，第口类办法中有从种不同的办法，那么完成这件事共有N=比++…+1几种不同的方法.（二）乘法原理如果完成一件事，必须依次连续地完成I】个步骤，这件事才能完成.若完成第一个步骤有甲种不同的方法，完成第二个步骤有叫种不同的方法，…，完成第11个步骤有从种不同的方法，那么完成这件事共有N=nVm2••…从种不同的方法-（三）排列1. 排列从11个不同元素中，任意取出ni（mn+C>n'1+-..+C>n'fcbk+…+Cf'ab21-1+C^bn,其中第k+l项为^1=c>n-kbk称为通项.若令a二b=l,得C：+C：+C：+…+C：=2n,C：,C：,…,C：称为展开式中的二项式系数・二项式系数具有以下性质：（1）Cf+Cf+C：+.・・+C：=2nT（11为偶数）；（2）C：+C：+C；+…+<2：=2小（ii为奇数）；（3）11为偶数时中项的系数最大，11为奇数时中间两项的系数等值且最大.二.常见问题及方法1•住店问题□个不同人（不能重复使用元素），住进m个店（可以重复使用元素），那么第一，第二，…，第ii个人都有m种选择，则总共排列种数是m"个.例1•有5人报名参加3项不同的培训，每人都只报一项，则不同的报法有（）.（A）243种（B）125种（C）81种（D）60种（E）以上选项均不正确解析：乘法原理，每个人都有3种选择，所以不同的报法有35=243（种）.【答案】A练习：3个人争夺4项比赛的冠军，没有并列冠军，则不同的夺冠可能有()种.(A)43(B)34(C)4X3(D)2X3(E)以上选项均不正确解析：每个冠军都有3个人可选，故夺冠可能有吉种.【答案】B明确排列与组合的区别：只要求每个组里的元素不同，是组合问题.用Cf；若对顺序有要求，则是排列问题，用涪.注：解决这类问题的关键是准确分类与分步.例2(2012-1)某商店经营15种商品，每次在橱窗内陈列5种，若每两次陈列的商品不完全相同，则最多可陈列()•(A)3000种(B)3003种(C)4000种(D)4003种(E)4300种【解析】只要求商品不同•是组合问题，故15x14x13x12x115x4x3x2xl=3003(种)【答案】B练习，(2015-1)平面上有5条平行直线，与另一组F条平行直线垂直，若两组平行线共构成280个矩形，则&().(A)5(B)6【解析】组合问题(C)7(D)8(E)9从两组平行直线中任选两条则可构成一个矩形，于是C；xCj=280,即n(n-l)=56,解得n=8.【答案】D3. 排队问题(1) 特殊元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求.再考虑其他元素；(2) 特殊位置优先法.先考虑有限制条件的位置的要求.再考虑其他位置；(3) 排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.(4) 相邻问题捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列.（5）不相邻问题插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空.（6）定序问题消序法.例3甲、乙、丙、丁、戊、己6人排队，则在以下各要求下，各有多少种不同的排队方法？（1）甲不在排头；（2）甲不在排头并且乙不在排尾；（3）甲乙两人相邻；（4）甲乙两人不相邻；（5）甲始终在乙的前面（可相邻也可不相邻）.【解析】假设6人一字排开，排入如下格子：排头排尾（1）方法一：剔除法.6个人任意排，有£种方法；甲在排头，其他人任意排,有&种方法;故甲不在排头的方法有^-^=600（种）.方法二：特殊元素优先法.第一步：甲有特殊要求，故让甲先排，甲除了排头外有5个格子可以选，即C；第二步：余下的5个人•还有5个位置可以选，没有任何要求，故可任意排，即故不同的排队方法有=600（种）.方法三：特殊位置优先法.第一步：排头有特殊要求，先让排头选人，除了甲以外都可以选，故有C；；第二步：余下的5个位置.还有5个人可以选，没有任何要求，故可任意排故不同的排队方法有=600（种）.【注意】①虽然以上两种方法在这一道题列岀式子来是一样的，但是两种方法的含义不同.② 在并非所有元素都参与排列时（如“6个人选4个人排队，甲不在排头”）,特殊位置优先法与特殊元素优先法列出的式子并不一样，特殊位置优先法会更简单.（2）方法一：特殊元素优先法.有两个特殊元素：甲和乙•如果我们先让甲挑位置，甲不能在排头，故甲可以选排尾和中间的4个位置.这时，如果甲占了排尾，则乙就变成了没有要求的元素；如果甲占了中间4个位置中的一个，则乙还有特殊要求：不能坐排尾；故按照甲的位置分为两类：第一类：甲在排尾，其他人没有任何要求，即第二类：甲从中间4个位置中选1个位置，即C：；再让乙选，不能在排尾，不能在甲占的位置，故还有4个位置可选，即C：；余下的4个人任意排，即斥；故应为加法原理，不同排队方法有厲+C：C舄=504（种）.方法二：剔除法.6个人任意排氏,减去甲在排头的&,再减去乙在排尾的&；甲既在排头乙又在排尾的减了2次，故需要加上1次，即斥；所以，不同排队方法有斥-弯-弯+月=504（种）.（3）相邻问题用捆绑法.第一步：甲乙两人必须相邻，故我们将甲乙两人用绳子捆起来，当作一个元素来处理，则此时有5个元素，可以任意排，即£；第二步：甲乙两人排一下序，即居；根据乘法原理，不同排队方法有^=240（种）.（4）不相邻问题用插空法.第一步：除甲乙外的4个人排队，即第二步：4个人中间形成了5个空，挑两个空让甲乙两人排进去，两人必不相邻,即屈；根据乘法原理，不同排队方法有好程=480（种）.（5）定序问题用消序法.第一步：6个人任意排，即斥；第二步：因为甲始终在乙的前面•所以单看甲乙两人时,两人只有一种顺序，但是6个人任意排时，甲乙两人有朋种排序，故需要消掉两人的顺序，用乘法原理的逆运算，即用除法，则有善.故不同排队方法有^-=360种）.【注意】若3人定序则除以出，以此类推.练习：（2012-1）在两队进行的羽毛球对抗赛中，每队派出3男2女共5名运动员进行5局单打比赛.如果女子比赛安排在第二和第四局进行，则每队队员的不同岀场顺序有（）.（A）12种（B）10种（C）8种（D）6种（E）4种【解析】要求“每队”队员的不同出场顺序，只需要考虑一队即可.所以，2个女队员排在第二和第四局，即思；3个男队员排在另外三局，即M；根据乘法原理，不同的岀场顺序为屈&=12（种）.【答案】A4. 万能元素问题万能元素是指一个元素同时具备多种属性，一般按照选与不选万能元素来分类.例（2011-10）在8名志愿者中，只能做英语翻译的有4人，只能做法语翻译的有3人，既能做英语翻译又能做法语翻译的有1人•现从这些志愿者中选取3人做翻译工作，确保英语和法语都有翻译的不同选法共有（）种.（A）12（B）18（C）21（D）30（E）51【解析】分为两类：第一类：有人既懂英语又懂法语C：C；=21；第二类：没有人既懂英语又懂法语C：C；+C：C；=30.根据加法原理，不同的选法有51种.练习：从1、2、3、4、5、6中任取3个数字，其中6能当9用，则能组成无重复数字的3位数的个数是()个.(A)108(B)120(C)160(D)180(E)200【解析】分为三类：第一类：无6和9,则其余5个数选3个任意排，即&；第二类：有6,则1、2、3、4、5中选2个，再与6-起任意排，即C決;第三类：有9,则1、2、3、4、5中选2个，再与9一起任意排，即C；屈；故总个数为氏++C；&=180(种).【答案】D5•均匀与不均匀分组问题(1) 均匀分组与不均匀分组.如果组与组之间的元素个数相同，称为均匀分组；否则，称为不均匀分组.(2) 小组有名称与小组无名称.只是分组即可，则小组无名称；如分为A组、B组、C组，或种子队、非种子队.等等，则小组有名称.(3) 如果均匀分组，并且小组无名称，需要消序(若有ni组元素个数相等，就要除以兀)；其余情况均不需要消序.例：从10个人中选一些人，分成三组，在以下要求下，分别有多少种不同的方法？(1) 每组人数分别为2、3、4；(2) 每组人数分别为2、2、3；(3) 分成A组2人.B组3人，C组4人；(4) 分成A组2人.B组2人，C组3人；(5) 每组人数分别为2、3、4,：去参加不同的劳动；(6) 每组人数分别为2、2、3,去参加不同的劳动.【解析】(1)不均匀分组，不需要考虑消序，即(2) 均匀并且小组无名字，要消序，即五学.(3) 小组有名字，不管均匀不均匀，不需要消序，即C^Ct(4) 小组有名字，不管均匀不均匀，不需要消序，即(5) 第一步，不均匀分组，即第二步，安排劳动，即占；故有(6) 第一步，均匀且小组无名称分组，即。

嘗;.；第二步，安排劳动,即故有卑6•不同元素的分配问题不同元素的分配问题，采用先分组，再分配(排列)的原则.例：4个不同的小球放人甲、乙、丙、丁4个盒中，恰有一个空盒的放法有().(A)C：Cj(B)UA(C)C：A4(D)C：A(E)屈C；【解析】先取两个球作为一组是C：,余下2球自然成为2组，把3组球放入4个盒子的三个里，即胃，所以，不同的放法有C：屈种.【答案】D练习(2010-1)某大学派岀5名志愿者到西部4所中学支教.若每所中学至少有一名志愿者，则不同的分配方案共有().(A)240种(B)144种(C)120种(D)60种(E)24种【解析】其中一所学校分配2人，其余3所学校各分配一人，分两步：第一步：从5名志愿者任选2人作为一组，另外三人各成一组，即C；；第二步：将4组志愿者任意分配给4所学校，即斥.故不同的分配方案有：C；A=240.【答案】A7. 相同元素的分配问题(1)挡板法将II个“相同的”m个对象，每个对象“至少分一个”的分法如下：把这n个元素排成一排，中间有n-1个空，挑出m-1个空放上挡板，自然就分成了m组，所以。