2007年考研数学二真题及答案.docx
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2007年考研数学二真题一、选择题（1~10小题，每小题4分，共40分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1) 当x→0+时，与x等价的无穷小量是(A)1-e-x (B)ln1+x1-x(C)1+x-1 (D)1-cosx【答案】B解析】(当x→0+)时ln1+x1-x=ln1+x-ln1-x~x ex~-x 1+x-1~12x 1-cosx~12x几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定综上所述，本题正确答案是B考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2) 函数fx=(e1x+e)tanxx(e1x-e)在[-π,π]上的第一类间断点是x=(A)0 (B)1(C)-π2 (D) π2【答案】A解析】整理为word格式A：由limx→0-e1x=0,limx→0+e1x=+∞得limx→0-f(x)=limx→0-(e1x+e)tanxx(e1x-e)=limx→0-e1x+ee1x-e∙tanxx=e-e∙1=-1 limx→0+f(x)=limx→0+(e1x+e)tanxx(e1x-e)=limx→0+e1x+ee1x-e∙tanxx=1∙1=1 所以x=0是fx的第一类间断点；B：limx→1f(x)=limx→1(e1x+e)tanxx(e1x-e)=∞C：limx→- π2f(x)=limx→- π2(e1x+e)tanxx(e1x-e)=∞D：limx→ π2f(x)=limx→ π2(e1x+e)tanxx(e1x-e)=∞所以x=1,x=± π2都是f(x)的第二类间断点。
综上所述，本题正确答案是A考点】高等数学—函数、极限、连续—函数间断点的类型(3) 如图，连续函数y=f(x)在区间-3,-2,[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间-2,0,[0,2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设Fx=0xf(t)dt,则下列结论正确的是(A)F3=-34F(-2)(B)F3=54F(2)整理为word格式(C)F-3=34F(2)(D)F-3=-54F(-2)-3 -2 -1 0 1 2 3y=f(x)xy【答案】C解析】【方法一】四个选项中出现的F(x)在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定F3=03f(t)dt=02f(t)dt+23f(t)dt=π2-π8=38π F2=02f(t)dt=π2 F-2=0-2f(t)dt--20ftdt=--π2=π2 F-3=0-3f(t)dt=--30ftdt=-π8-π2=38π 则F-3=34F(2)【方法二】由定积分几何意义知F2>F3>0,排除(B)又由f(x)的图形可知f(x)的奇函数，则Fx=0xf(t)dt为偶函数，从而F-3=F3>0,F-2=F2>0显然排除(A)和(D),故选(C)。
整理为word格式综上所述，本题正确答案是C考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4) 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是(A)若limx→0f(x)x存在，则f0=0(B)若limx→0fx+f(-x)x存在，则f0=0(C)若limx→0f(x)x存在，则f'0存在(D)若limx→0fx-f(-x)x存在，则f'0存在【答案】D解析】(A)：若limx→0f(x)x存在，因为limx→0x=0,则limx→0f(x)=0,又已知函数f(x)在x=0处连续，所以limx→0f(x)=f(0),故f0=0,(A)正确；(B)：若limx→0fx+f(-x)x存在，则limx→0[fx+f(-x)]=f0+f0=0,则f0=0，故(B)正确C) limx→0f(x)x存在，知f0=0，则limx→0f(x)x=limx→0fx-f(0)x=f'(0)则f'(0)存在，故(C)正确(D) limx→0fx-f(-x)x=limx→0[fx-f(0)x-f-x-f(0)x]存在，不能说明limx→0fx-f(0)x存在整理为word格式例如fx=|x|在x=0处连续，limx→0fx-f(-x)x存在，但是f'(0)不存在，故命题(D)不正确。
综上所述，本题正确答案是D考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(5) 曲线y=1x+ln(1+ex)渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】D解析】由于limx→0y=limx→01x+ln1+ex=∞，则x=0是曲线的垂直渐近线；又 limx→-∞y=limx→-∞1x+ln1+ex=0 limx→+∞y=limx→+∞1x+ln1+ex=+∞所以y=0是曲线的水平渐近线；斜渐近线：由于-∞一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在+∞一侧a=limx→+∞yx=limx→+∞1x+ln1+exx=limx→+∞1x2+limx→+∞ln1+exx =0+limx→+∞ex1+ex=1整理为word格式b=limx→+∞y-x=limx→+∞[1x+ln1+ex-x] =limx→+∞1x+ln1+ex-lnex =limx→+∞1x+ln1+1ex=0则曲线有斜渐近线y=x，故该曲线有三条渐近线综上所述，本题正确答案是D考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(6) 设函数f(x)在(0,+∞)内具有二阶导数，且f''x>0,令un=f(n)(n=1,2,⋯),则下列结论正确的是(A)若u1>u2,则{un}必收敛 (B)若u1>u2,则{un}必发散(C)若u1 解析】【方法一】图示法：由f''x>0，知曲线y=f(x)是凹的，显然，图1排除选项(A)，其中un=fn→-∞；图2排除选项(B)；图3排除选项(C),其中un=fn→+∞；故应选(D)yu1 u2 xO 1 2yu1 u2 xO 1 2yu1 u2 xO 1 2整理为word格式 图1 图2 图3【方法二】排除法：取fx=(x-2)2,显然在(0,+∞)，f''x=2>0,f1=1>f2=0,但un=fn=(n-2)2→+∞，排除A；取fx=1x,在(0,+∞)上，f''x>0,且f1=1>f2=12,但un=fn=1n→0,排除B；取fx=ex, 在(0,+∞)上，f''x>0，且f1=e 考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(7) 二元函数f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是整理为word格式(A) lim(x,y)→(0,0)[fx,y-f(0,0)]=0(B) limx→0fx,0-f(0,0)x=0,且limy→0f0,y-f(0,0)y=0(C) lim(x,y)→(0,0)fx,y-f(0,0)x2+y2=0(D) limx→0[f'xx,0-f'x(0,0)]=0,且limy→0[f'y0,y-f'y(0,0)]=0【答案】C解析】由lim(x,y)→(0,0)fx,y-f(0,0)x2+y2=0可得limx→0fx,0-f(0,0)x=limx→0fx,0-f(0,0)x2+02∙x2x=0 即f'x0,0=0,同理f'y0,0=0从而limρ→0f∆x,∆y-f0,0-(f'x0,0∆x+f'y0,0∆y)ρ =limρ→0f∆x,∆y-f(0,0)ρ=limρ→0f∆x,∆y-f(0,0)∆x2+∆y2=0根据可微的判定条件可知函数f(x,y)在点(0,0)处可微综上所述，本题正确答案是C考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件(8) 设函数f(x,y)连续，则二次积分π2πdxsinx1f(x,y)dy等于(A)01dyπ+arcsinyπf(x,y)dx (B) 01dyπ-arcsinyπf(x,y)dx整理为word格式(C)01dyπ2π+arcsinyf(x,y)dx (D) 01dyπ2π-arcsinyf(x,y)dx【答案】B。 解析】交换积分次序，已知π2 考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关(10) 设矩阵A=2-1-1-12-1-1-12,B=100010000,则A与B(A)合同，且相似 。
