等差数列学案 新编写.pdf

等差数列学案 2 第 1 课时等差数列的概念及通项公式 知能目标解读 通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概 念判断一个数列是否为等差数列. 探索并掌握等差数列的通项公式的求法. 体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决 等差数列问题 . 掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题. 能用等差数列的知识解决一些实际应用问题. 重点难点点拨 重点：等差数列的概念. 难点：等差数列的通项公式及其运用. 学习方法指导 等差数列的定义 关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面： 如果一个数列，不是从第2 项起，而是从第3 项起或 第 4 项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这 个数列不是等差数列. 一个数列从第2 项起，每一项与其前一项的差尽管等 于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一 定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列. 求公差时， 要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an 或 者 d=an-an-1. 如何证明一个数列是等差数列? 要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只 需证明对任意正整数n,an+1-an是同 一个常数是同一个常数). 这里所说的常数是指一个与n 无关的常数 . 注意 : 判断一个数列是等差数列的定义式：an+1-an=d. 若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也 可以证明 an+1-an 或 an-an-1 不是常数，而是一个与n 有关 的变数即可 . 等差数列的通项公式 通项公式的推导常用方法： 方法一： an 是等差数列， an-an-1=d,an-1-an-2=d, an-2-an-3=d,, a3-a2=d,a2-a1=d. 将以上各式相加得：an-a1=d, an=a1+d. 方法二： an 是等差数列， an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d==a1+d. 即 an=a1+d. 方法三： an 是等差数列，则有 an=+++++a1=a1+d. 注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题 的常用方法，应注意体会并应用. 通项公式的变形公式 在等差数列 an 中，若， nN+ ，则 an=a+d. 推导如下： 对任意的 ,n N+ ，在等差数列中，有 a=a1+d an=a1+d 由 - 得 an-a=d, an=a+d. 注意：将等差数列的通项公式an=a1+d 变形整理可得 an=dn+a1-d ，从函数角度来看，an=dn+是关于 n 的一次函数 或常数函数，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中 公差 d 是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知 道， d=. 通项公式的应用 利用通项公式可以求出首项与公差; 可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项; 若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出 项数 . 从函数角度研究等差数列的性质与图像 由 an=f=a1+d=dn+ ，可知其图像是直线y=dx+上的一些 等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d 是该 直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d. 当 d0 时， an 为递增数列，如图所示. 当 d0 时，an 是数列； 当 d=0 时，an 是数列； 当 d11, 即从第 12 年起，该公司经销这一产品将亏损. 说明关于数列的应用题，首先要建立数列模型将 实际问题数列化 . 变式应用 4 XX年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很 多的体育场， 为了实际效果， 体育场的看台一般呈 “辐射状”. 例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：排有150 个 座位，从第二排起每一排都比前一排多20 个座位，你能用 an 表示第 n 排的座位数吗？第10 排可坐多少人？ 分析分析题意知，看台上的每一排的座位数组成 了一个等差数列 . 解析由题意知，每排的座位数组成了一个首项为 a1=150, 公差为 d=20 的等差数列， an=a1+d=150+20=20n+130, 则 a10=330, 即第 10 排可坐 330 人. 名师辨误做答 例 5已知数列 an,a1=a2=1,an=an-1+2. 判断数列 an是否为等差数列？说明理由； 求 an的通项公式 . 误解an=an-1+2, an-an-1=2 ， an是等差数列 . 由上述可知， an=1+2=2n-1. 辨析忽视首项与所有项之间的整体关系，而判断 特殊数列的类型是初学者易犯的错误. 事实上，数列an 从第 2 项起，以后各项组成等差数列，而an不是等差数 列， an=f 应该表示为“分段函数”型. 正解当 n3 时， an=an-1+2, 即 an-an-1=2. 当 n=2 时， a2-a1=0 不满足上式 . an不是等差数列. a2=1,an=an-1+2 ， a3=a2+2=3. a3-a2=2. 当 n3 时， an-an-1=2. an=a2+d=1+2=2n-3, 又 a1=1 不满足此式 . an=. n-3 课堂巩固训练 一、选择题 在等差数列 an 中,a2=2,a3=4, 则 a10= A.12 B.14 c.16 D.18 答案D 解析该题考查等差数列的通项公式，由其两项求 公差 d. 由 a2=2,a3=4 知 d==2. a10=a2+8d=2+82=18. 已知等差数列 an 的通项公式an=3-2n, 则它的公差为 A.2 B.3 c. 2 D.3 答案c 解析an=a1+d=dn+, 公差为 2，故选 c. 方程 x2-6x+1=0 的两根的等差中项为 A.1 B.2 c.3 D.4 答案c 解析设方程 x2-6x+1=0 的两根为 x1、 x2, 则 x1+x2=6. 其等差中项为=3. 二、填空题 在等差数列 an 中， a2=3,a4=a2+8, 则 a6=. 答案19 解析a2=3,a4=a2+8, a1+d=3a1=-1 , 解得 . a1+3d=a1+d+8d=4 a6=a1+5d=-1+20=19. 已知 a、b、c 成等差数列，那么二次函数y=ax2+2bx+c 的图像与 x 轴的交点有 个. 答案1 或 2 解析a、b、c 成等差数列，2b=a+c, 又=4b2-4ac=2-4ac=2 0. 三、解答题 在等差数列 an中，已知a5=10,a12=31, 求通项公式 an. a1+4d=10a1=2 解析由题意得 , 解得 . a1+11d=31d=3 an=-2+ 33n-5. 课后强化作业 一、选择题 等差数列 1，-1 ，-3 ，-5 ，， -89 ，它的项数为 A.92 B.47 c.46 D.45 答案c 解析a1=1，d=-1-1=-2, an=1+?=-2n+3, 由-89=-2n+3 ，得 n=46. 如果数列 an 是等差数列，则 A.a1+a8a4+a5 D.a1a8=a4a5 答案B 解析设公差为d,则 a1+a8-a4-a5=a1+a1+7d-a1-3d-a1-4d=0, a1+a8=a4+a5. 已知数列 3,9,15,,3, , 那么 81 A.12 项 B.13 项 c.14 项 D.15 项 答案c 解析由 3=81, 解得 n=14. 在等差数列 an 中， a2=-5,a6=a4+6, 则 a1 等于 A.-9 B.-8 c.-7 D.-4 答案B a1+d=-5 解析由题意，得， a1+5d=a1+3d+6 解得 a1=-8. 数列 an 中，a1=2,2an+1=2an+1, 则 a101 的值是 A.49 B.50 c.51 D.52 答案D 解析由 2an+1=2an+1 得 an+1-an= ， an 是等差数列 , 首项 a1=2, 公差 d=, an=2+=, a101==52. 已知 a=,b=, 则 a,b 的等差中项为 A. B. c. D. 答案A 解析===. 设数列 an 是递增等差数列， 前三项和为12，前三项积 为 48 A.1 B.2 c.4 D.3 答案B a1+a2+a3=12a1+a3=8 解析由题设， , a2=4, a1a2a3=48a1a3=12 a1,a3 是一元二次方程x2-8x+12=0 的两根， 又 a3a1, a1=2. an 是首项为 a1=4, 公差 d=2 的等差数列，如果an=XX, 则序号 n 等于 A.1003 B.1004 c.1005 D.1006 答案 c 解析 a1=4,d=2, an=a1+d=4+2=2n+2, 2n+2=XX, n=1005. 二、填空题 三个数 lg,x,lg成等差数列，则x=. 答案0 解析由等差中项的运算式得 x==0. 0. 一个等差数列的第5 项 a2=10, 且 a1+a2+a3=3, 则 a1=,d=. 答案-2,3 a5=a1+4d=10a1+4d=10a1=-2 解析由题意得 , 即， . a1+a1+d+a1+2d=3a1+d=1d=3 1. 等差数列 an 的前三项依次为x，2x+1，4x+2，则它 的第 5 项为 . 答案4 解析2=x+, x=0, 则 a1=0,a2=1,d=a2-a1=1, a5=a1+4d=4. 在数列 an 中，a1=3，且对于任意大于1 的正整数n， 点在直线 x-y-=0上，则 an=. 答案3n2 解析由题意得 -=, 数列 是首项为，公差为的等差数列， =n, an=3n2. 三、解答题 3. 在等差数列 an 中： 已知 a5=-1,a8=2, 求 a1 与 d; 已知 a1+a6=12,a4=7, 求 a9. a1+d=-1a1=-5 解析由题意知，解得 . a1+d=2d=1 a1+a1+d=12a1=1 由题意知，解得， a1+d=7，d=2 a9=a1+d=1+82=17. 已知函数 f= ，数列 xn 的通项由 xn=f 确定 . 求证：是等差数列； 当 x1=时，求 x100. 解析xn=f= ， 所以 ==+， -=. 所以是等差数列； 由知 的公差为 . 又因为 x1=, 即 2. 所以 =2+， =2+=35. 所以 x100=. 已知等差数列an中， a5+a6+a7=15,a5 ?a6?a7=45, 求 数列 an的通项公式 . 分析显然 a6 是 a5 和 a7 的等差中项，可利用等 差中项的定义求解a5 和 a7，进而求an. 解析设 a5=a6-d,a7=a6+d, 则由 a5+a6+a7=15, 得 3a6=15, a6=5. a5+a7=10a5=1a59 由已知可得，解得或 a5?a7=9a7=9a7=1 当 a5=1 时， d=4, 从而 a1=-15,an=-15+4=4n-19. 当 a5=9 时， d=-4, 从而 a1=25. an=25+ 4n+29. 所以数列 an的通项公式为an=4n19 或 an=-4n+29. 届现代奥运会于1896 年在希腊雅典举行，此后每4 年 举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算. 试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； XX年北京奥运会是第几届？2050 年举行奥运会吗？ 解析由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是 一个以 1896 为首项， 4 为公差的等差数列，这个数列的通项 公式为 an=1896+4=1892+4n. 假设 an=XX ，由 XX=1892+4n,得 n=29. 假设 an=2050,2050=1892+4n 无正整数解 . 所以 XX年北京奥运会是第29 届， 2050 年不举行奥运会 . 第 2 课时等差数。