积分第一中值定理及其推广证明.doc

2.1积分第一中值定理证明 积分第一中值定理: 如果函数( )f x 在闭区间[ , ]a b 上连续，( )g x在( , )a b上不变号，并且( )g x在 闭区间[ , ]a b 上是可积的，则在[ , ]a b 上至少存在一点，使得 ( ) ( )( )( ),() bb aa f x g x dxfg x dxab  成立 证明如下： 由于( )g x在闭区间[ , ]a b 上不变号，我们不妨假设( )0g x ，并且记( )f x 在闭区 间[ , ]a b 上的最大值和最小值为M和m，即( )mf xM，我们将不等式两边同 乘以( )g x可以推出，此时对于任意的[ , ]xa b都会有 ( )( ) ( )( )mg xf x g xMg x 成立对上式在闭区间[ , ]a b 上进行积分，可以得到 ( )( ) ( )( ) bbb aaa mg x dxf x g x dx Mg x dx  此时在,m M之间必存在数值，使得mM，即有 ( ) ( )( ) bb aa f x g x dxg x dx  成立。

由于( )f x 在区间[ , ]a b 上是连续的，则在[ , ]a b 上必定存在一点，使 ( )f成立此时即可得到 ( ) ( )( )( ) bb aa f x g x dxfg x dx  ， 命题得证 2.2积分第一中值定理的推广 定理：（推广的第一积分中值定理）若函数( )f x 是闭区间[ , ]a b 上为可积函数， ( )g x在[ , ]a b 上可积且不变号，那么在开区间( , )a b上至少存在一点，使得 ( ) ( )( )( ),( , ) bb aa f x g x dxfg x dxa b  成立 推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法 证法1：由于函数( )f x 在闭区间[ , ]a b 上是可积的，( )g x在[ , ]a b 上可积且不 变号，令( )( ) ( ) x a F xf t g t dt，( )( ) x a G xg t dt，很显然( ),( )F x G x 在[ , ]a b 上连 续并且( )0,( )( ) ( ) b a F aF bf t g t dt，( )0,( )( ) b a G aG bg t dt， ( )( ) ( )Ffg，( )( )Gg 。

由柯西中值定理即可得到 ( )( )( ) ,( , ) ( )( )( ) F bF aF a b G bG aG       ， 化简，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a f t g t dt fg g g t dt      ， 根据上式我们很容易得出 ( ) ( )( )( ),( , ) bb aa f t g t dtfg t dta b  ， 命题得证 证法2：由于函数( )g x在[ , ]a b 上可积且不变号，我们不妨假设( )0g x 而 函数( )f x 在闭区间[ , ]a b 上可积，我们令inf( )|[ , ]mf xxa b， sup( )|[ , ]Mf xxa b假设( )F x 是( )f x 在闭区间[ , ]a b 上的一个原函数，即 ( )( ),[ , ]F xf xxa b我们就可以得到下面等式 ( )( ) ( )( ) bbb aaa mg x dxf x g x dx Mg x dx  （2.2.1） 此时由于( )0g x ，则会有( )0 b a g x dx   ，由于存在两种可能性，那么下面我们 就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论： (1).如果( )0 b a g x dx   ，由等式（2.2.1）可得出( ) ( )0 b a f x g x dx   ，那么对 于( , )a b  都有 ( ) ( )0( )( ) bb aa f x g x dxfg x dx  恒成立。

(2).如果( )0 b a g x dx   ，将（2.2.1）除以( ) b a g x dx  可得 ( ) ( ) ( ) b a b a f x g x dx mM g x dx    ，（2.2.2） 我们记 ( ) ( ) ( ) b a b a f x g x dx g x dx    ，（2.2.3） 此时我们又分两种情形继续进行讨论： （Ⅰ）如果（2.2.2）式中的等号不成立，即有 ( ) ( ) ( ) b a b a f x g x dx mM g x dx    成立 ，则此时一定就存在mM，可以使得 12 (),()mf xf xM ， 我们不妨假设 12 xx，这其中 12 ,[ , ]x xa b因为( )( )F xf x，[ , ]xa b，则会 有 1122 ()()()()F xf xf xF x 此时至少存在一点 12 ( ,)x x，使得( )( )Ff，即有 12 ( ) ( )( )( ),( ,)[ , ] bb aa f x g x dxfg x dxx xa b  成立，从而结论成立。

（Ⅱ）如果（2.2.2）式中仅有一个等号成立时，我们不妨假设M，因 为( )0 b a g x dx   ，此时一定存在区间 11 [,]( , )a ba b（其中 11 ab），使得 11 [,]xa b ，恒有( )0g x 成立，我们可以将（2.2.3）式进行简化 ( )( ) ( ) bb aa g x dxf x g x dx  ， 因为M，则有 [( )] ( )0 b a Mf x g x dx  （2.2.4） 而且我们已知[( )] ( )0Mf x g x，则 1 1 0[( )] ( )[( )]0 xb ya Mf x g x dxMf x dx  于是 1 1 [( )] ( )0 x y Mf x g x dx  （2.2.5） 在式子（2.2.5）下必定存在 11 [,]( , )a ba b，使得( )fM 如果不存在一个 11 [,]( , )a ba b，使得( )fM，则在闭区间 11 [ ,]x y 上必定有( )0Mf x及( )0g x 成立，从而使得[( )] ( )0Mf x g x。

如果 1 1 [( )] ( )0 b a Mf x g x dx  ，由达布定理在 11 [,]a b 上有[( )] ( )0Mf x g x: ，这与[( )] ( )0Mf x g x矛盾 如果 1 1 [( )] ( )0 b a Mf x g x dx  ，这与（2.2.5）式矛盾所以存在[ , ]a b，使 ( ) ( )( )( ),( , ) bb aa f x g x dxfg x dxa b  ，定理证毕。