01第一节第一类曲线积分.doc

第十一章 曲线积分与曲面积分在第十章中，我们已经把积分的积分域从数轴上的区间推广到了平面上的区域和空间中的区域. 本章还将进一步把积分的积分域推广到平面和空间中的一段曲线或一片曲面的情形. 相应地称为曲线积分与曲面积分，它是多元函数积分学的又一重要内容. 本章将介绍曲线积分与曲面积分的概念及其计算方法. 以及沟通上述几类积分内在联系的几个重要公式：格林公式、奥-高公式和斯托克斯公式 .第一节 第一类曲线积分分布图示★ 引例 曲线形构件的质量★ 第一类曲线积分的概念★ 第一类曲线积分的性质★ 第一类曲线积分的物理意义★ 第一类曲线积分的计算★ 例 1 ★ 例 2 ★ 例 3★ 例 4 ★ 例 5 ★ 例 6★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题 11—1★ 返回内容要点一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是 面内的一段曲线 （图 10-1-1） ，它的xOyL质量分布不均匀，其线密度为 ，试求该构件的质量.),(yx二、第一类曲线积分的定义与性质性质 1 设 ， 为常数，则； LLL dsyxgdsyxfdsyxgf ),(),()],(),([ 性质 2 设 由 和 两段光滑曲线组成( 记为 )，则12 21.,(),(), 2121  LLL dsyxfdsyxfdsyxf注： 若曲线 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称 是分段光滑的，L在以后的讨论中总假定 是光滑的或分段光滑的.性质 3 设在 有 ，则 L),(),(yxgfdsyxgsyxfLL),(),(性质 4（中值定理）设函数 在光滑曲线 上连续，则在 上必存在一点 ，,f ),(使sfdsyxfL),(),(其中 是曲线 的长度. sL三、第一类曲线积分的计算： )(),ttyx(1.10)dtyttfdsyxfL )(](,[),( 2如果曲线 的方程为 ，则bxa,(1.11)dxyfdsyxfbL )(1])(,[),( 2如果曲线 的方程为 ，则c,(1.12)dyxyxfdsyxfcL )(1]),([),( 2如果曲线 的方程为 ，则,r  drrfdsyxfL )()sin,co(),( 2例题选讲第一类曲线积分的计算例 1（E01）计算曲线积分 其中 L 是中心在 、半径为 的上,)(2LdsyxI )0,(R半圆周（图 11-1-2）.解 由于上半圆周的参数方程为 tRyxsin)co1(),0(t所以 IdL)(202]sinco1[tt dtRt22)cos()si(3)(2dtR03i[tR.例 2（E02）计算半径为 R, 中心角为 的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I (设线2密度 ).1解 取坐标系如图(图 10-1-3),则 .2LdsyI为计算方便, 利用 的参数方程,costRxtyin).(t故 LdI2  dtRtR222)cos(sin(sit23sini3tt)i(R).cosin(3R例 3 计算 其中 是抛物线 上点 与点 之间的一段弧.,LdsyL2xy)0,(O)1,(B解 如图(见系统演示), 的方程),102xydsd2(.42dx因此 syL1022x4d).15(2)1(210/3x例 4 计算 , 其中积分弧段 是由折线 组成, 而 LydsLOAB),01(.2B解 在 上，OA,0,x所以 .yds在 上， 所以B,1x,Ayds20.从而OABydsAByds20.例 5（E03）计算 其中 L 为双纽线（图 10-1-4）,|L的弧.)()(222yxayx解 双纽线的极坐标方程为 .2cos2ar用隐函数求导得 ,in,sin2rar .i22422 dardds 所以 .)(sinsin4| 2400 adaryL 例 6（E04）求 其中 为球面 被平面 所截,2sxI 22zyx0zyx得的圆周.解 由对称性,知dsx2y2,2dsz所以 Isz)(3122sa231dsa,3其中 为球面的大圆周长.2课堂练习1.计算曲线积分 , 其中 为螺旋线 上相应dszyx)(22ktztaytx,sin,co于 t 从 0 到 的一段弧.22.有一段铁丝成半圆形 其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标, 2xay求其质量.。