怎样理解向量的投影与投影向量.pdf

怎样理解怎样理解向量的投影与投影向量向量的投影与投影向量？？（图）（图） 矢量是最通常的向量，是指既有大小又有方向的量比如物理学上的力、位移、速度、加速度等矢量通常用加粗的字母表示还有许多物理量只有大小而没有方向，或我们对其方向性不感兴趣，这就是我们最常见的数或数量，在数学上称之为标量比如物体的质量、密度、长度、面积、体积、能量、功、功率等标量通常用不加粗的字母表示为了研究现代数学空间与张量的概念，有必要先搞清矢量投影的实质含义 一、矢量投影的实例一、矢量投影的实例 设原位置在 O 点的物体，在外力 F 的作用下发生的位移为矢量 S，那么外力所做的功为多少呢？如果外力的方向与位移的方向一致，则所做的功为 但一般情况下两个矢量之间存在夹角为 θ（取值在 0～π 弧度范围），如下图所示： 图 1 矢量的投影 则应先求出外力 F 在位移 S 方向上的投影 再根据前面的公式求出外力所做的功 由上例可见：一个矢量在另一个矢量上的投影是个标量，大小等于该矢量的模与两矢量夹角余弦的乘积 二、矢量投影的定义二、矢量投影的定义 数学上的投影概念来源于实践 设想与矢量 S 方向垂直的一束平行光线， 照射在矢量 F 上，在 OS 直线上形成了一段影子，记为 OF'，这个影子线段 OF'就是矢量 F 在矢量 S 方向上的投影。

如下图所示： 图 2 矢量投影的概念 根据上述意义，矢量 F 在矢量 S 上的投影定义为 其中 为两个矢量之间的夹角 由投影的定义可见：投影 Fs与目标矢量 S 的大小无关，但与目标矢量 S 的方向有关，体现在两矢量的夹角 θ 上如果夹角是锐角，投影为正实数；如果夹角为钝角，投影为负实数；如果夹角为直角，投影为 0，即一个点 注意：既然投影的概念涉及到夹角余弦，则投影的“光线”必须与投影所在的直线（或目标矢量）垂直这一点在张量空间的研究中非常重要 三、矢量的点积三、矢量的点积 一般地，任意两个矢量 a 和 b 的点积定义为 其中 θ 为两个矢量的夹角如下图所示： 图 3 矢量的点积 可见两个矢量的点积也是个数量（标量），数值上等于其中一个矢量的模与另一个矢量在其上的投影的乘积即 例如：上例图中外力所做的功，就是力和位移两个矢量的点积 注意：点积是符合交换律的即 但投影不符合交换律，必须指明谁对谁上的投影即一般情况下 四、矢量投影与点积的关系四、矢量投影与点积的关系 众所周知，模（长度）为 1 的矢量叫做单位矢量单位矢量，记为 u即有 根据矢量点积的定义， 如果一个任意矢量 a 与一个单位矢量 u 点乘， 则其点积等于矢量 a 在单位矢量 u 上的投影。

即 如下图所示： 图 4 矢量在单位矢量上的投影 比较矢量投影的定义可知，任一矢量 a 在另一个矢量 b 上的投影，实质上就是矢量 a 与目标矢量 b 方向上单位矢量的点积所以投影与目标矢量 b 的长度无关，但与 b 的方向有关即 其中 为目标矢量 b 方向上的单位矢量 五、向量的投影五、向量的投影 向量是一组有规则的数（分量），或曰有序 n 元组，可以理解为矢量概念的推广和抽象上述有关矢量的一切属性和理论，对于向量都普遍适用 一般地，在欧氏空间中，任意两个向量的点积定义为 其中 叫做度规张量度规张量，是欧氏空间的度量衡表现形式取决于我们观测时所选取的坐标系（坐标基矢的长度及各基矢间的夹角） 注意：坐标基矢之间的夹角是坐标系的固有属性，与两个任意向量之间的夹角是不同的上式中的哑标不求和，仅表示度规张量的一个分量 一个向量在另一个向量上的投影也仍然可以定义为 其中 为目标向量 b 方向上的单位向量 比较点积的定义可知，一个向量 a 在另一个向量 b 上的投影是一个标量，实质上就是向量 a 与目标向量 b 方向上单位矢量的点积 所以投影与目标向量 b的长度无关，但与 b 的方向有关 六、投影向量六、投影向量 向量的投影是一个标量。

但在有些场合（比如并矢概念的来源）需要使用到投影向量投影向量的概念所谓投影向量，就是用投影和目标向量方向的单位向量共同组成的一个新的向量 一般地，在欧氏空间中，投影向量定义为 其中下标 b 不是哑标，不表示求和，而仅仅表示投影的目标向量是 b 注意： 投影向量与向量的投影不是同一个概念 投影向量是一个向量， 其 “长度” 是投影 （标量） ， 其方向就是目标向量 b 的方向 而向量的投影是一个标量，是一个向量与另一个单位向量的点积也可以说，投影是投影向量在该单位向量（方向与投影目标向量一致）下分解的分量 如果投影的目标向量 b 是坐标系的一个基矢，那么任一向量 a 在坐标基矢上的投影是不是等于向量 a 在该坐标基矢下的坐标分量 ai呢？且听周法哲下回分解 （作者：周法哲（作者：周法哲 2009-12-20 于珠海）于珠海） 。