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第五章矩阵分析基础矩阵分析基础§5.1 向量和矩阵的范数 1．向量的范数定义1：设X  R n，Ｘ 表示定义在Rn上的一个实值函数，称之为X的范数，它具有下列性质：（3）三角不等式：即对任意两个向量X、Y R n，恒有 (1) 非负性：即对一切X  R n，X  0, Ｘ >0(2) 齐次性：即对任何实数a  R，X  R n，设X = (x1, x2,…, xn)T，则有（1）（2）（3）三个常用的范数：范数等价: 设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在常数 C1、C2 > 0 使得 , 则称 ‖·‖A 和‖·‖B 等价定理1：定义在Rn上的向量范数 是变量X分量的一致连续函数 定理2：在Rn上定义的任一向量范数 都与范数 等价，即存在正数 M 与 m ( M>m ) 对一切XRn，不等式成立推论：Rn上定义的任何两个范数都是等价的 对常用范数，容易验证下列不等式： 定义2：设给定Rn中的向量序列{ }，即其中若对任何i (i = 1, 2,…, n )都有则向量 称为向量序列{ }的极限，或者说向量序列{ }依坐标收敛于向量 ，记为定理3：向量序列{Xk}依坐标收敛于X*的充要条件是向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。

2．矩阵的范数定义3：设A为n 阶方阵，Rn中已定义了向量范数 ，则称 为矩阵A 的算子范数或模，记为 即矩阵范数的基本性质： （1）当A = 0时， ＝0，当A  0时， > 0（2）对任意实数k 和任意A，有（3）对任意两个n阶矩阵A、B有（5）对任意两个n阶矩阵A、B，有（4）对任意向量XRn，和任意矩阵A，有例5:设A＝(aij)∈M. 定义证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.证明：设从而定理4：设n 阶方阵A = (aij)nn，则（Ⅰ）与 相容的矩阵范数是（Ⅱ）与 相容的矩阵范数是其中1为矩阵ATA的最大特征值Ⅲ）与 相容的矩阵范数是上述三种范数分别称为矩阵的1-范数、2-范数和∞-范数可以证明, 对方阵 和 ，有(向量|| · ||2的直接推广)Frobenius范数:注：（1）（2）矩阵的Frobenius范数不是算子范数3．矩阵的范数与特征值之间的关系定理5：矩阵A 的任一特征值的绝对值不超过A的范数，即定义4：矩阵A 的诸特征值的最大绝对值称为A的谱半径，记为：并且如果A为对称矩阵，则 注:Rn×n中的任意两个矩阵范数也是等价的。

定义5： 设|| · ||为Rn×n上的矩阵范数，A,B∈Rn×n称 ||A-B||为A与B之间的距离定义6：设给定Rn×n中的矩阵序列{ }，若则称矩阵序列{ }收敛于矩阵A，记为定理6 设B∈Rn×n，则由B的各幂次得到的矩阵序列Bk, k=0,1,2…)收敛于零矩阵（ ）的充要条件 为 4. 矩阵的条件数定义5 设矩阵 为非奇异矩阵，则称 为矩阵 的条件数，其中 是矩阵的算子范数 对矩阵 的任意一个算子范数，有§ 5.2 初等矩阵 初等矩阵对线性方程组的研究起着重要的作用，本节介绍一般形式的初等矩阵，它是矩阵计算的基本工具5.2.1 初等矩阵定义6 设向量 ，则形如 的矩阵叫做实初等矩阵，其中 是 阶单位矩阵，向量 ，为初等下三角阵定理5.2.1 初等下三角阵 具有如下性质： (1) ；5.2.2 初等下三角矩阵定义7 令向量 则称矩阵 (3) 任何一个单位下三角阵 都可分裂成 因此，对任一非奇异下三角阵 ，都可分裂成一个非奇异 对角阵和若干个下三角阵的乘积。

(4) 左乘矩阵 的结果是从 的各行中减去第 行乘一个因子 初等下三角阵在矩阵的满秩分解、三角分解以及解线 性代数方程组的直接解法中起着重要的作用2 )为单位下三角阵 ；5.2.3 Householder矩阵定义8 设向量 ，且 ，称形如 为Householder矩阵，或称Householder变换、反射矩阵要得到Householder矩阵，只要在初等矩阵 中，定理5.2.2 Householder矩阵 具有以下性质： (1) 矩阵 是对称阵，即 ； (2) 矩阵 是正交矩阵，即 (3) 变换保持向量长度不变，即对任意向量 ，;，即可 取向量(4) 设 为以 为法向量过原点的超平面，对任意的非零 向量 ，有 与 关于超平面 对称 定理5.2.3 对任意的非零向量 ，可以适当选择合适的向量，满足 ，用其构造的 矩阵可将 变换为单位向量 的常数倍，使得 其中， 是实数，并且 定义9 将 阶单位阵 改变第 行和第 列的四个元素得到矩阵 5.2.4 Givens旋转矩阵称为Givens旋转矩阵，或称Givens变换， 为旋转角 是一个正交矩阵，对任意向量 ，由线性变换 ，其中， ，可得 5.2.5 Hessenberg矩阵定义10 若实矩阵 的次对角线以下元素均为零，即 时， ，称形如 的矩阵 为上Hessenberg（海森伯格）阵，或拟上三角阵 。

如果次对角线元素 全不为零，则称该矩阵为不可约的上Hessenberg阵 定理5.2.4 对任意矩阵 ，总存在正交阵 使得 为上Hessenberg阵 5.2.6 对角占优阵定义11 设矩阵 ，若存在一个排列阵 ，使得 否则称矩阵 是不可约的 其中 ，则称矩阵 是可约的，定义12 设矩阵 ，若 且至少有一个不等式严格成立，则称矩阵 为弱对角占优阵，对所有不等式严格成立，则称矩阵 为严格对角占优阵 定理5.2.5 （对角优势定理） 若矩阵 为严格对角占优阵，或者为不可约且弱对角占优阵，则 若历史与注记 阿尔斯通·豪斯霍德(Alston Scott Householder，1904–1993 )Householder 1904 年生于美国伊利诺州的洛克福特1937 年取得了芝加哥大学博士学位之后他获得洛克菲勒基金会的 资助，在芝加哥大学从事研究， 1944年被提升为数学和生物 物理学的副教授二战后他为美国海军研究实验室作数学顾问，他的研究兴趣转向数值计算，不久，他又转移到位于Oak Ridge，Ten nessee 的著名的国家实验室，从事与原子能和武器有关的并行计算的研究 他于1954～1956年间出任ACM的主席，1963—1964年又出任工业与应用 数学学会SIAM的主席。

豪斯霍德1969年获Harry Goode奖，他是美国艺术 和科学院院士1980 年获得计算机先驱奖 Householder 的主要贡献在数据处理技术方面，他的研究领域主要是数 值分析、数值代数、生物数学，尤其是计算机在生物医学和生理学方面的应 用1958年，他发明了“矩阵反演”(matrix inversion)，可用以当圆锥曲线 (也就是二次曲线)在n维空间中其坐标轴发生旋转时找出其基本不变式而在用最小二乘法(1east—squares)对矩阵进行近似计算 时，目前常用到的一种变换法也是由豪斯霍德创造的，因 而被称为Householder transformation”此外， Householder 还是系统使用“范数”作为数值方法分析理 论工具的先驱者关于范数的概念各种中文著作和文献都有详细的介绍，条 件数的概念是20世纪40年代由图灵提出，详细资料参见文献 [1],条件数估计的概论参见文献[2]，Turnbull和埃特金 Aitken)在1932年就已经使用过初等反射，即现在的 Householder变换，是1958年由Householder发表的1965 年，Golub在 求解最小二乘问题中使用Householder方法，可参见文献[3] 。