李凡长版组合数学课后习题答案习题1.pdf

1 第一章排列组合1、 在小于 2000 的数中，有多少个正整数含有数字2？解：千位数为 1 或 0，百位数为 2 的正整数个数为： 2*1*10*10 ；千位数为 1 或 0，百位数不为 2，十位数为 2 的正整数个数为： 2*9*1*10 ；千位数为 1 或 0，百位数和十位数皆不为2，个位数为 2 的正整数个数为：2*9*9*1 ；故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*15422、 在所有 7 位 01 串中，同时含有“ 101”串和“ 11”串的有多少个？解： （1） 串中有 6 个 1：1 个 0 有 5 个位置可以插入： 5 种2） 串中有 5 个 1，除去 0111110 ，个数为62-114或：4142*214）（3）串中有 4 个 1：分两种情况： 3 个 0 单独插入，出去1010101，共53-1种；其中两个 0 一组，另外一个单独，则有2*)2, 2(4152P种4）串中有 3 个 1：串只能为 *1101* 或*1011* ，故共 4*2 种所以满足条件的串共48 个3、一学生在搜索 2004 年 1 月份某领域的论文时，共找到中文的10 篇，英文的12 篇，德文的 5 篇，法文的 6 篇，且所有的都不相同。

如果他只需要2 篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*6 4、设由 1，2，3，4，5，6 组成的各位数字互异的4 位偶数共有 n 个，其和为 m求 n 和 m解：由 1，2，3，4，5，6 组成的各位数字互异，且个位数字为2，4，6 的偶数均有 P(5,3)=60个，于是： n = 60*3 = 180以 a1,a2,a3,a4分别表示这 180个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则m = a1+10a2+100a3+1000a4因为个位数字为2，4，6 的偶数各有 60个，故a1 = (2+4+6)*60=720因为千（百，十）位数字为1，3，5 的偶数各有 3*P(4,2) = 36 个，为 2，4，6 的偶数各有 2*P(4,2) = 24 个，故a2 = a3 = a4 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612 因此，m = 720 + 612*(10 + 100 + 1000) = 680040 5、 从1，2，, ， 7中选出不同的 5 个数字组成的 5 位数中，1 与 2 不相邻的数字有多少个？解： 1 与 2 相邻：)4, 4(253P。

故有1 和 2 但它们不相邻的方案数：)4,4(2)5,5(5353PP只有 1 或 2：)5,5(254P没有 1 和 2：P(5,5) 2 故总方案数：)4,4(2)5, 5(5353PP+)5, 5(254P+ P(5,5) 6、 安排 5 个人去 3 个学校参观，每个学校至少一人，共有多少种安排方案？解：方法一： 有两种方案：有两个学校只要一个人去，剩下的那个去3 人；有两个学校去2 人，剩下的去 1 人故方案数为：（2/2/32524151）*P(3,3)150方法二 ：2132315231531507、 现有 100 件产品，其中有两件是次品. 如果从中任意抽出5 件，抽出的产品中至多有一件次品的概率是多少？解：无次品：985；有一件次品：98421因此，概率为（985+98421）/ 10058、 有七种小球，每个小球内有17 个星星一次活动中，主办方随机发放礼品盒，每个盒里放两个这样的小球，那么共有多少种这样的礼品盒？解：方法一、281272方法二、 （77-7）/2+728 方法三、一个球是一星球，另一个球可以是一七星球，故有7 种；一个球是二星球，另一个球可以是二七星球，故有6 种；,一个球是七星球，另一个球可以是七星球，故有1 种。

因此，共 7+6+, +128 种9、 服务器 A 接到发往服务器B、C、D、E、F 的信包各 3 个，但它一次只能发出一个信包问共有多少种发送方式？如果发往服务器B 的信包两两不能相邻发出呢？解： （1）3? B,3? C,3?D,3? E,3? F的全排列（2）其余 4 个服务器全排列，在插入B 的三个：! 3!3 ! 3!3)!3333(310、有 m 个省，每省有 n 个代表，若从这 mn 个代表中选出 k（km）个组成常任委员会，要求委员会中的人来自不同的省，一共有多少种不同的选法？解：mk? nk 11、7 对夫妇围一圆桌而坐，每对夫妇都不相邻的坐法有多少种？解：7 个夫人先坐： 7!/7 第一个丈夫不坐在他夫人旁边，则有5 个地方可以坐；第二个丈夫由于可以坐在第一个丈夫旁边，故有6 个地方可以坐；3 ,第 7 个丈夫有 11 分地方可以坐因此： 5*6*7*8*9*10*11*7 ！/71197504000 12、设 S = n1 a1, n2 a2, ,nk ak ，其中 n1 = 1，n2 + n3 +, + nk = n，证明 S 的圆排列的个数等于：!knnnn32证明： S的全排列为：!)!1(21knnnn因为要排成 (n+1)圆，故圆排列数为!)!1(21knnnn/(n+1)= !2knnn13、有 8 个大小相同的棋子（ 5 个红的 3 个蓝的） ，放在 1212 的棋盘上，每行、每列都只能放一个，问有多少种放法. 解：)3,7()5 ,12(73125PP先放红的。

选出 5 行出来125，列可任选为 P(12,6)再先放蓝的选出3 行出来73，列可任选为 P(7,3)14、设 1rn，考虑集合 1,2, ,n的所有 r 元子集及每个子集中的最小数，证明这些最小数的算数平均数为11rn. 证明：r 元子集共nr个，于是共有nr个最小数下面我们求出这些最小数之和如果 r 元子集中的最小数为k，那么除 k 外的 r-1 个数只能从 k+1,k+2, ,n中取，有knr 1种取法，即以 k 为最小数的 r 子集有knr 1个，因此这些最小数之和为knrrnkk111于是平均数为knrrnknrk1111由nmnnm和11nmnmnm有rnknrknrknrrnkknrrnkrrrkn111111111)1(nrrnkknrnn) 1() 1(111上面两式相减得：11111)1(nrnrrnkknrrnk4 因此knrrnknrk1111=11rn15、用二项式定理展开 (4x - 3y)8. 解：8088)3()4(rrrryx16、(3y 2z)20的展开式中， y5z15的系数是什么？解：155205)2(317、证明：nnnnnn531420证明： 该等式的组合意义是说，n 元集 S的偶子集数与奇子集数相等。

现在我们任取 S 中的一个元 x对 S 的任何一个偶子集AS，如果 xA，则令 BA-x ；否则，令 BAx B 显然是 S的奇子集不难证明这是所有偶子集与所有奇子集之间的一一对应所以，S 的偶子集数与奇子集数相等18、证明等式n0k11)!(nk!k并讨论其组合意义 . 证明： （n+1） ！= n*n!+n! n! = (n-1)*(n-1)!+(n-1)! ,2! = 1*1!+1! 以上各式相加，整理得：(n+1)! = n+n!+(n-1)*(n-1)!+ , +2*2!+1*1!+1 故n0k11 ) !(nk!k组合意义：将（n+1）个不同物体a1,a2,an+1放入（ n+1）个不同的盒子A1,A2, ,An+1内的方法如下：（a1不在 A1内）+（a1在 A1内但 a2不在 A2内）+（a1,a2分别在 A1,A2内但 a3不在 A3内） +,+ （a1,a2, ai分别在 A1,A2, Ai内但 ai+1不在 Ai+1内） +,+（a1,a2, an+1分别在 A1,A2, An+1内）即：n0k1k!k1)!(n故n0k11 ) !(nk!k19、证明：!)!(knmknmnmmknmk证明：!)!(!)!()!( !)!(knmknmnmnmnmkknmnmmknmk5 20、证明：mn0，mn1(-1)kmnmknkk-n若，若. 证明： 若 n=m：nmnnn-nkmnmknkk-n(-1)(-1)=1。

若 nm：我们知道， (1+x) n = kn0knkx对该式两边求 m 阶导数：mknknkmnxmkkxmnn)!(!)1()!(!0乘以!2mxknm：mkkmnknkmnnmknmxxx02)1(令 x = -1：0 = kmnmknkk-n(-1)21、证明下列等式：（1）m0knmmnkknm-n2证明：nmmknkknm-n)!()!( !)!( !)!()!(!)!(kmmnknknkkmmnnkn因此，m0knmmnkknm-n2（2）1rnmirim0iinim证明： 利用路径问题解决左边第 i 项相当于从点 c (-r-1,0)到点(-1,i)，再经点 (0,i)，最后到达 b (n-m,m)的所有路径数而右边为从c 到 b 的所有路径数因此得证22、证明：2n1n2nn12n1n12n1n2nn1n1证明：11!)!2(1n12nnnnnn) 1( !)!2()1()!1( !22)!2()!1( !)!1()!2(!)!1()!12()!2()!1()!12()!2()!1()!12(!)!1()!12(12n1n12n1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn6 )1( !)!2()!1()!1( !)!2()!1()!1()!2()!1()!1()!2(!)!2(2n1n2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn因此2n1n2nn12n1n12n1n2nn1n123、试证明：（1）n0k2nnk21)2n(nk证明： 由二项式定理知：kn0knkx= (1+x) n等式两边对 x 求 2 次导数得：kn0knk2)(xkk= n(n-1) (1+x) n-2令 x=1，则：n0knk2)(kk= n(n-1) 2 n-2 整理得：m0knmmnkknm-n2（2）nkn1knkk1)(kn证明：k)!(nk!n!nnnkk)!(nk!n!n1)!k(n1)!k)(kk(nkkn1)!k(n1)!k)(k(nn!1)!k(n1)!(kkn!k)!(nk!n!k1)!-k-(n1)!(kn!1)(kk1)(knkn1k得证。

24、证明：n0k2nnk2)1)(n(n3n22)1)(k(k1. 证明： 由二项式定理知：kn0knkx= (1+x) n等式两边对 x 积分得：1n0k1nk)1(1)(n1111)(k1nkxnx7 再次积分：n0k22nk2)1)(n(n)1(2)1)(n(n112)1)(k(k1nkxnxx令 x1整理，得证25、展开(a+3b-7c-d)5. 解：43214321)()7()3(n50k5nnnnnnndcba（n1+n2+n3+n4 = 5） 26、(4x + 3y 2z)20的展开式中， x5y7z8的系数是什么？ x5y15的呢？解：x5y7z8的系数：875)2(34! 8! 7! 5!20 x5y15的系数：15534!15! 5!2027、求(3+x+x2+2x3)6的展开式中 x5的系数 . 解：53223324213! 5! 1! 6312! 3! 2! 1! 6311! 2! 3! 1! 6311! 3 ! 1 ! 2! 6312! 4! 1 ! 1! 628、证明：整数 n 的 m 分拆数等于整数 n-m2的 m 分拆数 . 证明： 设 n=a1+ a2+, +am是 n 的一个 m 项分拆，并假定 a1a2, am1，则(a1-1)+( a2-1)+, +( am-1)=n-m 是 n-m 的一个项数不超过m 的拆分。

反之，设 a1+ a2+, +ar=n-m(rm)是 n-m 的一个分拆，则项项rmr。