随机过程知识点汇总.docx

第一章随机过程的基本概念与基本类型一.随机变量及其分布1 .随机变量X,分布函数F(x)=P(X

讪，gk(0) = ikEXk5 .常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差0 — 1 分布 P(X =1) =p,P(X =0) =q EX -p DX =pq二项分布 P(X =k) =Ckpkqn4 EX = np DX = n p q,k泊松分布 P(X =k) =eA— EX =九 DX =九 均匀分布略k!(x-)21 1 - -2 O正态分布 N(a,二2) f (x) e 2；- EX =a DX = ； 2.2-二e iQ-'x X > 0 1 1指数分布 f(x) = J ,X EX =1 DX =」20, x <0 九 九6. N维正态随机变量 X =(X1,X2，…，Xn)的联合概率密度 X~N(a, B)1 1 T 1 ,f (Xi,X2, ,xn) = n -exp｛--(x - a) B (x-a)｝_ 2(2二)2 |B|2a =(a1，a2,…，an), x = (x1，x?，…，xn) , B = (bj )n^ 正定协方差阵二.随机过程的基本概念1 .随机过程的一般定义设(C, P)是概率空间，T是给定的参数集，若对每个t w T ,都有一个随机变量 X与之对应,则称随机变量族｛X(t,e),t WT)是(。

P)上的随机过程简记为 仅⑴/毛丁｝含义：随机过程是随机现象的变化过程， 用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的当t固定时，X(t,e)是随机变量当e固定时，X(t,e)时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道分类：根据参数集 T和状态空间I是否可列，分四类 也可以根据X(t)之间的概率关系分类,如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等2 .随机过程的分布律和数字特征用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性随机过程 (X (t), t w T ｝的一维分布，二维分布，…，n维分布的全体称为有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征 的完整描述在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征 来取代1)均值函数 mX (t) = EX (t)表示随机过程｛X(t),t w T｝在时刻t的平均值2)方差函数 DX(t) = E[X(t)-mX(t)]2表示随机过程在时刻t对均值的偏离程度BX(s,t) = E[(X(s) -mX(s))(X(t) -mX(t))](3 )协方差函数 且有BX (t,t) = DX (t)= E[X(s)X(t)]小(即。

)(4)相关函数Rx (s,t) =E[X(s)X(t)] (3)和(4)表示随机过程在时刻S, t时的线性相关程度5)互相关函数：｛x(t),tWTl V(t),t = T ｝是两个二阶距过程，则下式称为它们的互协方差函数BxY(s,t) =E[(X(s) -mx(s))(Y(t)川⑴)]，那么RXY(s,t) = E[X(s)Y⑴],称为互相关函数 E[X(s)Y(t)]皿(所丫代)若E[X(s)Y(t)] =mX (s)mY (t),则称两个随机过程不相关3 .复随机过程 Zt=Xt • jYt均值函数mZ (t) = EXt + jEYt 方差函数2Dz(t) =E[|Zt -mz(t)|]2 = E[(Zt -mz(t))(Zt -mz(t))]Bz (s, t) = E[(Zs - mZ (s))(Zt -mZ(t))] —协方差函数 _ 相关函数Rz(s,t) = E[ZsZt]=E[ZsZ]-mz(s)mZ^4 .常用的随机过程(1)二阶距过程：实(或复)随机过程 1X(t),twT｝,若对每一个twT,都有EX(t)2 <00 (二阶距存在)，则称该随机过程为二阶距过程。

2)正交增量过程：设 k(t),t = T ｝是零均值的二阶距过程，对任意的 t1 0,都有P 权(tn)〈A X(tJ =Xi，…，X(tnJ =Xn/= P｛X(tn) J X&J = J 则则称(X(t),H T)是马尔可夫过程。

若对任意正整数n及t1,t2，…，tn w T(5)正态过程：随机过程小),躇丁｝,(X(ti),X(t2)…X(tn))是n维正态随机变量，其联合分布函数是 n维正态分布函数，则称{X(t),t w T )是正态过程或高斯过程6)维纳过程：是正态过程的一种特殊情形设 W(t),，0 则 称W(t),—g

广义平稳过程：随机过程 {X(t),twT},如果①{X(t),tW丁}是二阶距过程；②对任意的 twT ,mX (t) = EX(t)=常数；③对任意 s, "T, RX(s,t) = E[X(s)X(t)] = RX(t —s),或仅与时间差t-s有关则满足这三个条件的随机过程就称为广义平稳过程，或宽平稳过程，简称平稳过程第二章泊松过程一.泊松过程的定义(两种定义方法)1,设随机计数过程{X(t), t之0},其状态仅取非负整数值， 若满足以下三个条件，则称：1X(t),tw 丁}是具有参数 九的泊松过程①X (0) =0 ；②独立 增量过程，对任 意正整 数n ,以及任 意的t1 0 ,有 p{x (t+s)—X (s) =n} = e'S (—— n =0,1,111n!E[ X (t)] = Kt,九=E[X(t)] ,表示单位时间内时间A发生的平均个数，也称速率或强度。

2,设随机计数过程{X (t), t至0},其状态仅取非负整数值，若满足以下三个条件，则称：{X (t), t至0}是具有参数人的泊松过程① X (0) = 0 ;②独立、平稳增量过程；③P iX (t h) X (t) =1 ： - h o(h)4 oP ix (t h) X (t)-2； - o(h)第三个条件说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不可能有两个或两个以上事件同 时发生，也称为单跳性二.基本性质■ s( ■ t 1) s tmX(t "曰 X (t)] = 't = D [ X ⑹ RX(a — to s 1) s.tBX (s, t) = RX (s,t) -mX (s)mX (t) = m min(s,t) 推导过程要非常熟悉2,「表示第n -1事件A发生到第n次事件发生的时间间隔，｛Tn, n之1是时间序列，随机变量 「服从参数为人的指数分布概率密度为-e-1 f (t)=0,,t _0t 二 0,分布函数FT (t)1-e",t -0 _\ , 均值0, t：：0为ETn」证明过程也要很熟悉 三.非齐次泊松过程到达时间的分布 略到达强度是t的函数P iX(t h) X (t)=1；i(t)h o(h)不具有平稳增量①X (0) =0；②独立增量过程；③ < 「 。

P1X (t h) X (t) — 2』o(h)性t 均值函数 mX (t) =E[X (t)] = o (s)ds定理：｛X (t), t之0｝是具有均值为 mX (t) = j 7"s)ds的非齐次泊松过程，则有P '：X (t s) X (t) =n； J mX( t s) -mX (t)] expi-[ mX (t s) mX (t)])n!四.复合泊松过程设｛N (t), t之0｝是强度为 九的泊松过程，｛Yk, k =1,2,1"｝是一列独立同分布的随机变量，且与N (t)｛n (t), t之0｝独立，令X (t)= Z Yk则称｛x (t),t之｝为复合泊松过程k 1重要结论： ｛x(t), t之0｝是独立增量过程；若E(Y12) <6 ,则E[ X (t印 tE1( Y,)2。