山西省临汾市水堤中学2021年高三数学理月考试题含解析.docx
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山西省临汾市水堤中学2021年高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f（x）=（）cosx的图象大致为（ ）A． B．C． D．参考答案：C【考点】3O：函数的图象．【分析】利用函数的零点排除选项，然后通过特殊点的位置判断即可．【解答】解：函数f（x）=（）cosx，当x=时，是函数的一个零点，属于排除A，B，当x∈（0，1）时，cosx＞0，＜0，函数f（x）=（）cosx＜0，函数的图象在x轴下方．排除D．故选：C．2. 已知集合则 （ ）A．B．C．D．参考答案：B3. 一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为（ ） A． B．和C． D．参考答案：A4. 设向量，，且，则等于Ａ． B． Ｃ． D．参考答案：D5. 方程()x－|lgx|＝0的实数根的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C6. 在三棱锥中，底面是直角三角形，其斜边平面，且，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A．25π B．20π C. 16π D．13π参考答案：A7. 设复数= （ ） A．1 B．i C．－1 D．－i参考答案：答案:C 8. 已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C. D．参考答案：C9. 已知O是坐标原点，点A（—1，1）,若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．参考答案：C10. 设为等差数列的前n项和．若，则使成立的最小正整数n为( )A．6 B．7 C.8 D．9参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 比较大小： （填“”，“”或“”）参考答案： 12. 不等式的解集是 .参考答案：13. 已知，，若同时满足条件：①，或；②, 。
则m的取值范围是_______ 参考答案：14. 已知函数，若，使得，则m的取值范围是________.参考答案： 15. 已知函数是奇函数，且，则 ；参考答案：－15因为函数是奇函数，所以，解得．又，即，所以，解得．所以，故．16. 已知各项为正数的等比数列若存在两项、使得，则的最小值为 参考答案：17. 已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是 ．X﹣204f（x）1﹣11参考答案：（，） 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到f（x）的单调性，结合函数的单调性求出不等式的解即a，b的关系，画出关于a，b的不等式表示的平面区域，给函数与几何意义，结合图象求出其取值范围【解答】解：由导函数的图形知，x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0；x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；∵f（2a+b）＜1，∴﹣2＜2a+b＜4；又a＞0，b＞0，∴a，b满足的可行域为表示点（a，b）与（﹣3，﹣3）连线的斜率的2倍，如图所示；由图知当点为（2，0）时斜率最小，为=；当点为（0，4）时斜率最大，为=；所以的取值范围是（，）．故答案为：（，）． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 本题满分16分，第1小题满分7分，第2小题满分9分）设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点．（1）求数量积的取值范围；（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围．参考答案：解：（1）由题意，可求得，． （1分）设，则有， （3分） （2分）所以，． （1分）（2）设直线的方程为， （1分）代入，整理得，（*） （2分）因为直线过椭圆的左焦点，所以方程*有两个不相等的实根．设，，中点为，则，，． （2分）线段的垂直平分线的方程为． （1分）令，则．（2分）因为，所以．即点横坐标的取值范围为． （1分）19. 已知函数在处的切线方程为（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若为整数，当时，恒成立，求的最大值（其中为的导函数）．参考答案：解：（Ⅰ），由已知得，故，解得 又，得，解得 ………………2分，所以当时，；当时，所以的单调区间递增区间为 ，递减区间为 …………4分（Ⅱ）法一.由已知，及整理得，当时恒成立令， ………………………………6分当时， ；由（Ⅰ）知在上为增函数，又 ………………………………8分所以存在 使得，此时当时， ；当时，所以 …………………10分故整数的最大值为. ………………12分法二.由已知，及整理得，令 ，得， ………………………6分当时，因为，所以，在上为减函数， ………………………8分，为增函数。
为减函数由已知 ……………………10分令，，在上为增函数.又，故整数的最大值为 ……………12分20. 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1AC1C⊥平面ABC,，分别是AC，A1B1的中点.（I）证明：EF⊥BC；（Ⅱ）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.参考答案：方法一：（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC. （Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=.由于O为A1G的中点，故，所以．因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是．方法二：（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC.如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz. 不妨设AC=4，则A1（0，0，2），B（，1，0），，，C(0，2，0).因此，，．由得．（Ⅱ）设直线EF与平面A1BC所成的角为θ.由（I）可得=(－,1,0),=(0,2,－2).设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z).由得取n=(1, ,1),故sinθ=|cos<,n>|=.因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为.21. （本小题满分14分） 如图,三棱锥中,侧面底面, ,且,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若为侧棱PB的中点,求直线AE与底面所成角的正弦值.参考答案：(Ⅰ) 证明:由知,, 又,所以,……………………………………………………2分 又,,所以 (Ⅱ)如图,取AC中点O,连接PO、OB,并取OB中点H,连接AH、EH,因为PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易证平面,又,所以平面,……………………8分则为直线AE与底面所成角,且………………………………………10分又,也所以有,22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线经过点（-1，0），其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系.设曲线的极坐标方程为 （1）若直线与曲线有公共点，求的取值范围； （2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.参考答案：解：（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为 -----------1分直线的参数方程为 （为参数） ----------2分将代入整理得-------------3分直线与曲线有公共点， -------------4分的取值范围是 -----------5分(2)曲线的方程可化为，其参数方程为（为参数） ---------6分为曲线上任意一点， -------8分的取值范围是 --------------10分。
