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[研究生入学考试题库]考研数学一分类模拟题11选择题问题:1. 已知方程组 有两个不同的解，则λ= A.-1．B.10．C.1．D.2．答案:C[解析] 线性方程组Ax=b有两个不同的解Ax=b有无穷多解．由于本题的系数矩阵比较复杂，故可以由|A|=0来排查．因为 所以本题中方程组有无穷多解的必要条件是|A|=0，故可排除A与D． 至于λ=1，还是λ=10?可以对增广矩阵代入特殊值后消元处理．例如，把λ=1代入原方程组，有 因为，故知λ=1时方程组有无穷多解，即选C．问题:2. 齐次方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A.A是n阶可逆矩阵．B.非齐次方程组Ax=b无解．C.A的列向量组线性无关．D.A的行向量组线性无关．答案:C[解析] 设A是m×n矩阵，则齐次方程组Ax=0只有零解的列向量组线性无关．故应选C． 注意①方程组不一定是n个方程n个未知数，所以A是充分条件，不必要． ②方程组Ax=b无解此时r(A)可以为n也可以不等于n． 例如和都有方程组Ax=b无解．但齐次方程组和前者只有零解后者有非零解，所以B既不充分也不必要． ③请你举例说明D既不是充分条件也不是必要条件． 问题:3. 设A为秩是r的m×n矩阵，非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是A.r=m．B.m=n．C.r=n．D.m＜n．答案:A[解析] 因为A是m×n矩阵，r(A)=m说明A的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，故增广矩阵(A，b)的m个行向量也必线性无关．因此，，即方程组Ax=b必有解．但方程组有解时，并不要求秩必为m．所以A是充分条件．那么BCD错在何处? 当m=n时，A是秩为r的n阶矩阵，由于增广矩阵的秩不能保证必是r，因此推导不出方程组必有解； 当r(A)=n时，增广矩阵的秩，有可能是n+1，因此不能保证Ax=b必有解．(注意A是m×n矩阵，m有可能大于n)你能举个反例吗? 当方程个数小于未知数个数时，Ax=b是否有解仍是不确定的．所以BCD均不是方程组有解的充分条件． 问题:4. 设A是m×n矩阵，非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是A.秩r(A)=min(m，n)．B.A的行向量组线性无关．C.m＜n．D.A的列向量组线性无关．答案:B[解析] 因为线性方程组Ax=b有解r(A)=r(A，b)．当A的行向量组线性无关时，有r(A)=m，那么此时亦有r(A，b)=m，所以方程组Ax=b有解． 但是当A的行向量组线性相关时，方程组Ax=b也可能有解．例如，故B是充分条件． 注意①当m≤n时，若r(A)=min(m，n)=m，方程组Ax=b有解，而m＞n时，由r(A)=nr)A，b)=n，故A不正确．例如，有r(A)=2而 ②当m＜n时，齐次方程组Ax=0肯定有非零解．而非齐次线性方程组Ax=b则可以无解，这里不要混淆．例如，故C不正确． ③关于D即r(A)=n可参看①． 问题:5. 设线性方程组Ax=b有m个方程，n个未知数且m≠n，则正确命题是A.若Ax=0只有零解，则Ax=b必有唯一解．B.若Ax=0有非零解，则Ax=b必有无穷多解．C.若Ax=b无解，则Ax=0只有零解．D.若Ax=b有无穷多解，则Ax=0必有非零解．答案:D[解析] Ax=0只有零解r(A)=n，但，所以A不正确． Ax=0有非零解r(A)＜n，但，所以B不正确． Ax=b无解，但，所以C不正确． Ax=b有无穷多解，自然有r(A)＜n，故D正确．问题:6. 设A为m×n矩阵，下列命题中正确的是A.若A中有n阶子式不为零，则Ax=0仅有零解．B.若A中有n阶子式不为零，则Ax=b必有唯一解．C.若A中有m阶子式不为零，则Ax=0仅有零解．D.若A中有m阶子式不为零，则Ax=b必有唯一解．答案:A[解析] A是m×n矩阵，若A中有n阶子式不为零，而A中又不存在n+1阶子式，故必有r(A)=n．同理，若A中有m阶子式不为零，则必有r(A)=m，本题就是考查秩与方程组解之间的关系． 对于A，因为r(A)=n，而Ax=0是n个未知数的齐次方程组，所以Ax=0必只有零解．即A正确． 关于B，当r(A)=n时，增广矩阵的秩有可能是n+1，所以Ax=b可能无解．即B不正确．为此，请思考下例 有r(A)=2，，方程组无解． 至于C和D，r(A)=m说明A的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以因此，方程组Ax=b必有解．但是否必有唯一解?Ax=0是否只有零解都是不确定的． 例如，有非零解 有无穷多解 仅当m=n时，C、D才正确． 问题:7. 已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2-α3β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为 A． B． C． D． 答案:B[解析] 由α1+2α2-α3=β知 即γ1=(1，2，-1，0)T是Ax=β的解．同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T也均是Ax=β的解．那么 η1=γ1-γ2=(0，1，-2，-1)T η2=γ3-γ2=(1，2，0，1)T是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关．于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，有n-r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1、α2线性无关，有r(A)=r(α1，α2，α3，α4)≥2．所以必有r(A)=2，从而n-r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系，根据解的结构B入选． 问题:8. 三元一次方程组所代表的三个平面的位置关系为 A． B． C． D． 答案:C[解析] 对增广矩阵作初等行变换，有 因为r(A)=2，，方程组无解，即三个平面没有公共交点．又因平面的法向量n1=(1，2，1)，n2=(2，3，1)，n3=(1，-1，-2)互不平行．所以三个平面两两相交，围成一个三棱柱．问题:9. 设α1=(ai bi，ci)T，i=1，2，3，α=(d1,d2,d3)T则三个平面 a1x+b1y+c1z+d1=0 a2x+b2y+c2z+d2=0 a3x+b3y+c3z+d3=0两两相交成三条平行直线的充分必要条件是 A.r(α1，α2，α3)=1，r(α1，α2，α3，α)=2．B.r(α1，α2，α3)=2，r(α1，α2，α3，α)=3．C.α1，α2，α3中任意两个均线性无关，且α不能由α1，α2，α3线性表出．D.α1，α2，α3线性相关，且α不能由α1，α2，α3线性表出．答案:C[解析] A中，r(α1，α2，α3)=1表明三个平面的法向量平行，从而三个平面相互平行(或重合)，又r(α1，α2，α3，α)=2说明三个平面没有公共的交点，因而这三个平面两两平行，至多有两个重合． 当三个平面两两相交成三条平行直线时，必有r(α1，α2，α3)=2，r(α1，α2，α3α)=3，但当r(α1，α2，α3)=2，r(α1，α2，α3α)=3时，有可能其中两个平面平行，第3个平面和它们相交，所以B是必要条件不充分． 而DA或B，亦知D是必要条件，不充分． α1，α2，α3中任意两个均线性无关任何两个平面都不平行相交成一条直线，而α不能由α1，α2，α3线性表出三个平面没有公共交点．故应选C．问题:10. 设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有A.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解．B.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．C.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．D.(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解．答案:A[解析] 如果α是(Ⅰ)的解，有Ax=0，可得 ATAα=AT(Aα)=AT0=0 即α是(Ⅱ)的解．故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解． 反之，若α是(Ⅱ)的解，有ATAα=0，用αT左乘可得 (Aα)T(Aα)=(αTAT)(Aα)=αT(ATAα)=αT0=0 若设Aα=(b1，b2，…，bn)T，那么 (Aα)T(Aα)=b12+b22+…+b2n=0 bi=0(i=1，2，…，n) 即 Aα=0．亦即α是(Ⅰ)的解．因此(Ⅱ)的解也必是(Ⅰ)的解．所以应选A． 问题:11. 设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1=0，现有四个命题 (1)(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解． (2)(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解． (3)(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解． (4)(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．以上命题中正确的是 A.(1)(2)B.(1)(4)C.(3)(4)D.(2)(3)答案:A[解析] 若Anα=0，则An+1α=A(Anα)=A0=0，即若α是(Ⅰ)的解，则α必是(Ⅱ)的下面的问题是选A还是选B?即(2)与(4)哪一个命题正确?如果An+1α=0，而Anα≠0，那么对于向量组α，Aα，A2α，…，Anα，一方面有：若kα+k1Aα+k2A2α+…+knAnα=0，用An左乘上式的两边，并把An+1α=0，An+2α=0，……代入，得kAnα=0， 由于Anα≠0而知必有k=0．类似地用An-1左乘可得k1=0，…… 因此：α，Aα，A2α，…，Anα线性无关．但另一方面，这是n+1个n维向量它们必然线性相关，两者矛盾．故An+1α=0时，必有Anα=0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．因此命题(2)正确． 故命题(1)、(2)正确，即Anx=0和An+1x=0是同解方程，故应选A． 问题:12. 设矩阵，那么矩阵A的三个特征值是A.1，0，-2．B.1，1，-3．C.3，0，-2．D.2，0，-3．答案:D[解析] 由特征值的性质：∑λi=∑aii ∑aii=1+(-3)+1=-1 显然，矩阵A中第2、第3两列成比例，易知行列式|A|=0，故λ=0必是A的特征值，因此可排除B． 对于A和D的选择，我们可以用特殊值法，由于 说明λ=1不是矩阵A的特征值． 故可排除A． 问题:13. 已知A是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A*的特征值是1，-1，2，4，那么不可逆矩阵是A.A-E．B.2A-E．C.A+2E．D.A-4E．答案:C[解析] 由A*的特征值是1，-1，2，4知|A|=-8，又因|A*|=|A|n-1而知|A|3=-8，于是|A|=-2．因，故 矩阵A的特征值是：-2，2，-1， 因此，A-E的特征值是-3，1，-2，，因为特征值非0，故矩阵A-E可逆． 类似地易见，矩阵A+2E的特征值中含有0，所以矩阵A+2E不可逆． 问题:14. 已知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是A.ATr．。