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信号与系统课后答案 第一章1.8 系统的数学模型如下，试判定其线性、时不变性和因果性其中X〔0-〕为系统的初始状态〔2〕y?t??e2f?t? 〔5〕y?t??f?t?cos2t 〔8〕y?t??f?2t? 解：〔2〕y?t??e2f?t? ① 线性： 设 f1?t??y1?t?,f2?t??y2?t?，那么 y1?t??e2??a1f1?t??a2f2?t???2f1?t?,y2?t??e2f2?t?那么 a1f1?t??a2f2?t??y?t??e?e2a1f1?t?e2a2f2?t?，明显，y?t??a1y1?t??a2y2?t?，所以是非线性的 ② 时不变性 设f1?t??y1?t?,那么 y1?t??e2f1?t?,设f1?t?t0??y2?t?,那么y2?t??e③ 因果性 因为对随意时刻 t1，y?t1??e2f?t1?，即输出由当前时刻的输入确定，所以系统是因果的〔5〕y?t??f?t?cos2t ① 线性： 设 f1?t??y1?t?,那么2f1?t?t0?y1?t?t0??e2f1?t?t0??y1?t?t0?，所以是时不变的f2?t??y2?t?，那么 y1?t??f1?t?cos2t,y2?t??f2?t?cos2ta1f1?t??a2f2?t??y?t????a1f1?t??a2f2?t???cos2t?a1f1?t?cos2t?a2f2?t?cos2t, 明显y?t??a1y1?t??a2y2?t?，所以系统是线性的。

② 时不变性 设f1?t??y1?t?,那么 y1?t??f1?t?cos2t,y1?t?t0??f1?t?t0?cos2?t?t0? 设f1?t?t0??y2?t?,那么y2?t??f1?t?t0?cos2t?y1?t?t0?，所以是时变的 ③ 因果性因为对随意时刻 t1，y?t1??f?t1?cos2t1，即输出由当前时刻的输入确定，所以系统是因果的 1〔8〕y?t??f?2t? ① 线性： 设 f1?t??y1?t?,那么f2?t??y2?t?，那么 y1?t??f1?2t?,y2?t??f2?2t?a1f1?t??a2f2?t??y?t????a1f1?2t??a2f2?2t????a1f1?2t??a2f2?2t?, 明显y?t??a1y1?t??a2y2?t?，所以系统是线性的 ② 时不变性 设f1?t??y1?t?,那么 y1?t??f1?2t?,?y1?t?t0??f1??2?t?t0??? 设f1?t?t0??y2?t?,那么y2?t??f1?2t?t0??y1?t?t0?，所以系统是时变的 ③ 因果性因为对随意时刻 t1，y?t1??f?2t1?，当 t1?0时，t1?2t1，即输出由将来时刻的输入确定，所以系统是非因果的。

2其次章2.12 〔a〕确定信号f〔t〕如下图，试分别画出以下信号的波形 〔1〕f〔1-t〕 〔2〕f〔2t+2〕〔3〕f〔2-t/3〕 〔4〕[f〔t〕+f〔2-t〕]U〔1-t〕f(t) 2 1 -1 1 2 3 t -1 解：〔1〕先将f〔t〕向左移1得f〔t+1〕〔见图〔a〕〕：f(t+1) f(1-t) 2 2 1 1 -2 1 2 t -2 1 2 t -1 -1 图(a) 图(b)然后反折即得 f〔1-t〕〔见图〔b〕〕〔2〕首先 f〔t〕向左移2得f〔t+2〕〔见图a〕：f(t+2) f(2t+2) 2 2 1 1 -3 0 1 t -3/2 0 1/2 t -1 -1 图(a) 图(b)然后将f〔t+2〕的波形压缩为1/2即得f〔2t+2〕的波形〔见图b〕 3 (3) 首先 f〔t〕向左移2得f〔t+2〕〔见图a〕：f(t+2) f(t/3+2) 2 2 1 1 -3 0 1 t -9 0 3 t -1 -1 图(a) 图(b)然后将f〔t+2〕的波形扩展3倍即得f〔2+t/3〕的波形〔见图b〕 最终将f〔2+t/3〕进展反折即得f〔2-t/3〕的波形〔见图c〕：f(2-t/3) 2 1 -3 3 6 9 t 图(c)(4) 先作出f〔2-t〕的波形 和U〔1-t〕的波形〔见图a和图b〕：f(2-t) U(1-t) 2 1 1 -1 1 2 3 t 1 t 图(a) 图(b)然后作出f〔t〕+f〔2-t〕的波形〔见图c〕： 最终乘以U〔1-t〕后的波形如图d。

4f(2-t)+f〔t〕 3 3 2 t 1 t 图(c) 图(d) 2.16 利用冲激信号及其各阶导数的性质，计算以下各式：?d?3t〔2〕f?t??? 〔8〕f?t???2?t3?4???1?t?dt e??t??????dt〔10〕f?t???e????t?????t???dt ???t? 〔14〕f?t???e123?2?tn??????t?n?dt?解：〔2〕f?t??d0?e??t??????t? ??dt〔8〕因为 ??1?t????t?1?，所以 f?t???2?t3?4???1?t?dt??2?t3?4???t?1?dt?2?t3?4???????t?1?10??t?????t??dt?e?t〔10〕f?t???e?t???????t?0??e?t??t?0?2〔14〕冲激串n??????t?n? 中只有 两个：δ〔t〕和δ〔t+1〕落在积分区间?t[-3/2 1/2]之中，因此f?t???e123?2n??????t?n?dt???123?2?1e????t?1????t???dt?e?1 ?t2.25 确定鼓励为零时刻参加，求以下系统的零输入响应。

〔1〕y???t??y?t??f??t?,y?0???2,y??0???0 〔3〕y???t??3y??t??2y?t??f?t?,y?0???1,y??0???0解：〔1〕特征方程为：?2?1?0，特征根为 ?1?i,?2??i，因此，yx〔t〕为：yx?t??C1eit?C2e?itt?0，代入初始条件并求解，有： 5 ?C1?C2?2?C1?C2?1，所以yx?t??eit?e?it?2costt?0 ??iC1?iC2?0〔3〕特征方程为：?2?3??2?0，特征根为：?1??1,?2??2，因此，yx〔t〕为 ：yx?t??C1e?t?C2e?2tt?0 ；代入初始条件并求解，有：??C1?2?C1?C2?1，所以yx?t??2e?t?e?2t?????C1?2C2?0?C2??1?t?02.26 系统框图如图2-58所示，试列出系统的微分方程，求单位冲激响应f (t) ? y???t? ?-1 ?y (t) 解：〔1〕如图，加法器的输出方程为： y???t??f?t??y??t?，整理后即得系统的微分方程为：y???t??y??t??f?t? 〔2〕求h〔t〕特征方程为?2???0，特征根为：?1??1,?2?0，因此，h〔t〕为： h?t???C1e?t?C2?U?t?，微分方程中令f〔t〕=δ〔t〕，并将h〔t〕代入，得： ?t?t????CeUt?C?t?C?C?t??CeU?t???C1?C2???t??????????11121???????t?比拟两边冲激函数的系数，得：??C1?C2?0?C1??1??，所以 h?t???1?e?t?U?t? ???C2?1?C2?12.33 确定信号如图2-61所示，试分别画出f1?t?*f2?t?的波形。

6f1(t) 1 -2 0 2 t f1(t) 1 0 1 t f1(t) 2 -1 0 1 t f1(t) 1 sint[U(t)-U(t-π) 0 1 t f2(t)(1) (1)-10 1 ta〕f2(t) 1 0 t b〕f2(t) 1 -1 0 1 t -1 c〕f2(t) 2 1 0 t e〕 7 〔〔〔〔 解：〔a〕f1?t?*f2?t??f1?t?*????t?1????t?1????f1?t?1??f1?t?1?,故波形如下：f(t) 1 2〔1-e-1〕 -3 0 〔a〕1 t 〔b〕0 t f〔t〕 -1 3〔b〕f1?t?*f2?t??f1??t?*f2??1??t????2??t??2??t?1???*?2?1?e?t?U?t??21?e?0 ???2?1?e?t???t2e?1e???t?00?t?1t?1??t0e??d?U?t?????t?1??U?t?1?波形见〔b〕??1?〔c〕f1?t?*f2?t??f1??t?*f2??1??t???2?t?1?2?t?1*f??????t? 2?? ?2f2??1??t?1??2f2??1??t?1?，而 f2??1??t? 的波形是一个等腰三角形，因此 卷积的波形为：f(t) 2 0 -2 (e)2 t 〔c〕 ?f1?t?*f2?t??sint?Ut?Ut??*1?Ut?1?sin?d??f?????????1?????0??1??t?*??t?1?8 ?2?f3??1??t?1?, t?0?0t??1U??U???d???其中 f1???t???sin?????????1?cost0?t?? ???2t???t?1?2?所以，f1?t?*f2?t???3?cost1?t???1?4t???1?卷积的波形见〔d〕 f(t) 42 0 1 π+1 t 〔d〕 2.49 确定LTI系统的框图如图2-73所示，三个子系统的冲激响应分别为h1?t??U?t??U?t?1?,h2?t??U?t?,h3?t????t?，求总系统的冲激响应h(t)。

h2〔t〕 Σ f(t) h3〔t〕 h1〔t〕 y(t)解：由图可知，总的冲激响应为h?t????h2?t??h3?t???*h1?t????U?t????t???*??U?t??U?t?1??????d??U?t????d??U?t?1??U?t??U?t?1?tt?101?tU?t???t?1?U?t?1??U?t??U?t?1??t??U?t??U?t?1????U?t? 92.52 求以下系统的零输入响应，零状态响应和全响应〔1〕y???t??3y??t??2y?t??f?t?,f?t???2e?tU?t?,y?0???1,y??0???2 解：特征方程为：?2?3??2?0，特征根为：?1??1,?2??2， 〔1〕求零输入响应由特征根得yx?t?为：yx?t??C1e?t?C2e?2tt?0 ；代入初始条件并求解，有：??C1?4?C1?C2?1，所以yx?t??4e?t?3e?2t??????C1?2C2?2?C2??3t?0〔2〕求冲激响应h〔t〕?t由特征根及微分方程的阶数可知：h?t???Ae在原微分方程中令?A2e?2t?U?t?，1f〔t〕=δ〔t〕，并将h〔t〕代入，得：??A1e?t?4A2e?2t?U?t????A1?2A2???t???A1?A2????t???3???A1e?t?2A2e?2t?U?t???A1?A2???t???????2?A1e?t?A2e?2t?U?t????t?比拟两边冲激函数的系数，得：??A1?1?A1?A。