直线与圆位置关系知识点与经典例题.doc
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直线与圆位置关系课标要求1•能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2•能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3•在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想二•知识框架 f相离 (几何法「 r弦长w直线与圆的位置关系 ｛相交弓 I 代数法I切割线定理［相切直线与圆 ｛ (代数法'求切线的方法寸 ［几何法 圆的切线方程
〖分析〗考查与圆有关的最值问题， 解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法， 直观的理解 转化为求斜率的最值； 转化为求直线y = x • b截距的最大值； 转化为求与原点的距离的最值问题位置关系）4.设 m, n R，若直线（m 1）x （n 1）y -2 =0 与圆（x-1）2 （y -1）2 =1 相切，则m • n的取值范围是（）（位置关系）5.在平面直角坐标系 xoy中，已知圆x2 • y2 =4上有且仅有四个点到直线12x_5y c =0的距离为1,则实数c的取值范围是 6. 直线3x • y -2、. 3 = 0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是 （C ）H Jl H HA B 、 C 、 D 、一6 4 3 2（位置关系）7 •圆x2 • y2 -2x - 2y T = 0上的点到直线 x - y = 2的距离最大值是（ ）*2 f—A. 2 B . 1 +V2 C . 1 十 D 1+2J22 '（最值问题）8.设A为圆（x-2）2・（y _2）2 =1上一动点，则 A到直线x-y-5=0的最大距离为 .9. 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线 3x 4y ^0与圆C相切，则圆C的方程为（ ）A. x2 y2 -2x -3 = 0 b. x2 y2 4x = 0C. x2 y2 2x - 3 = 0 d. x2 y2 - 4x = 010. 若曲线y = p'1-x2与直线y = x+b始终有两个交点，则 b的取值范围是 .（对称问题）11.圆C1 :（^3）2 （y 1）^4关于直线x-y=0对称的圆C2的方程为：（）A. (x 3)2 (y —1)2 =4 B. (x 1)2 (y _3)2 =4C. (x — 1)2 (y 3)2 =4 D. (x — 3)2 • (y I)2 = 412.直线 y =kx 3 与圆(x -2)2 (y —3)2 =4 相交于 M ,N 两点，若 | MN |_ 2、3 ,则k的取值范围是()A. [-3,0] B. [ 3,T] C. [-3、3] D. [一2,0]4 3 3 313.圆 C： (x- 1) + (y-2) = 25,直线 l : (2 m^ 1)x+ ( m^ 1)y= 4 ( m€ R).(1) 证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点；(2) 求OC与直线l相交弦长的最小值.[解析](1)将方程(2 1)x + ( 1) y= 7m^ 4,变形为(2x+ y- 7) nu (x+ y — 4) = 0.直线l恒过两直线2x+ y— 7 = 0和x+ y— 4= 0的交点，2x+ y— 7 = 0由 得交点M3,1).x+ y — 4= 02 2 _ _ _ _又••• (3 — 1) + (1 — 2) = 5<25,二点M3,1)在圆C内，.••直线I与圆C恒有两个交点.(2)由圆的性质可知，当I丄CM时，弦长最短.又 |CM = ,(3 — 1)2+ (1 — 2)2= 5,•••弦长为 I = 2 ：r2—|CM2= 2 25— 5= 4 5.四.计算直线被圆所截得的弦长的方法1. 几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的 R也计算，即|AB = 2占2 -d22. 代数法：运用根与系数关系（韦达定理） ，即AB| = Jk2 +1|xa _Xb| = J（k2 +1） （xa +xb）2 _4xaXb ]（注： 当直线AB斜率不存在时，请自行探索与总结；弦中点坐标为（互 空，上 览），求解弦中点轨迹方程。
2 2练习1. 直线y = 2x ■ 3被圆x2 • y2 -6x - 8y = 0所截得的弦长等于（）2. 过点（2,1）的直线中被圆x2 • y2 -2x • 4y =0截得的弦长最大的直线方程是（）A. 3x-y-5=0 B. 3x y-7=0 C. x 3y-5=0 D. x-3y 5 = 03.已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线丨：y = x-1被圆C所截得的弦长为2、. 2，则过圆心且与直线 丨垂直的直线方程为()4. 直线x — 2y — 3 = 0与圆C: (x— 2)2+ (y+ 3) 2= 9交于E、F两点，则厶ECF的面积为( )A.3 B. 3 C . 2 5 D. ◎2 4 55. 已知圆 C : (x -3)2 (y 一4)2 二 4 和直线丨：kx - y -4k 3 = 0(1) 求证：不论k取什么值，直线和圆总相交；(2) 求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长•6. 若曲线x2+ y2+ 2x— 6y+ 1 = 0上相异两点P、Q关于直线kx + 2y— 4 = 0对称，则k的值为1( )A. 1 B.— 1 C. D. 227. 已知过点M -3,-3的直线l与圆x2亠y2亠4y -21 =0相交于 A, B两点，(1) 若弦AB的长为2 15，求直线l的方程；(2) 设弦AB的中点为P，求动点P的轨迹方程.解：(1)若直线I的斜率不存在，则 I的方程为x =-3，此时有y2 • 4y-12= 0,弦| AB |=|丫人—Yb卜2—( — 6= 8所以不合题意.故设直线l的方程为y，3 = k x 3，即kx-y，3k-3=0 .2将圆的方程写成标准式得 X2，y 2 25，所以圆心 0,-2，半径r =5 .圆心0, -2至煩线I的距离d = '3k "1|，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三Jk2 +12角形，所以(届;+(3k2_1)=25，即(k+3f = 0，所以 k = —3.k +1所求直线l的方程为3x y 1^0 .(2)设 P x,y，圆心 O1 0,-2，连接 Of，则 Of_ AB •当 x = 0且 x= -3时,_y-(-3)x-(-3)，则有告爲一1，化简得……(1)当x=0或x=—3时，P点的坐标为 0, -2 , 0, -3 , -3,-2 , -3,-3都是方程(1)2 2的解，所以弦 AB中点P的轨迹方程为 x - • y • 5 "二5 .I 2丿V 2丿28.已知圆x2 • y2 • x - 6y • m二0和直线x 2y -3 = 0相交于P,Q两点，0为原点，且OP _ 0Q ,求实数m的取值.五•已知切点，求切线方程1. 经过圆x2 y^r2上一点P (xo, yo)的切线方程为 - y°y二r22. 经过圆(x-a)2 • (y-b)2 =r2上一点P (x°,yo)的切线方程为2(X。
a)(x -a) (yb)(y-b) =r3. 经过圆x2 y2 Dx Ey F =0上一点P(x°,y)的切线方程为泌 y°y D 岁 E：「0练习1. 经过圆上一点P(-4,-8)作圆(x 7)2 (y 8)2 9的切线方程为()2. 圆x2 y2 -4x =0在点P(1, .. 3)处的切线方程为( )A. x .3y-2=0 B . x 、3y-4 = 0 C. x-.3y 4 = 0 D . x-.. 3y 2=0六. 切点未知，过园外一点，求切线方程1. k不存在，验证是否成立；2. k存在，设点斜式，用圆到直线的距离 d二r，即y -y° =k(x -沧)b_y° _k(a_x0)|r = / Jk2 +1练习1.求过A(3,5)且与圆C ： x2 • y2 -4x -4y - 7=0相切的直线方程七. 切线长2 2 2若圆C:(x-a) (y -b) = r ，则过圆外一点P(x°,y0)的切线长d = .(Xa)2 (y° -b)2 -r2练习1. 自点 A(_1,4)作圆(x — 2)2 • (y — 3)2 ■的切线，则切线长为( B )(A) ,5 (B) 3 (C) ..10 (D) 52. 自直线y=x上点向圆x2+y2-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为 八. 切点弦方程过圆C :(x-a)2 • (y-b)2 =r2外一点P(x。
y)作圆C的两条切线方程，切点分别为A, B ,则切点弦AB所在直线方程为：(x0 - a)(x - a) ■ (y0 - b)( y - b) = r21.过点q6 , - 8)作圆x2+ y2= 25的切线于切点 A B,那么C到两切点A、B连线的距离为( )15A. 15 B. 1 C. — D. 5九. 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项， 即pt|2 =|pc |pd|练习2 21•自动点P引圆x y =10的两条切线PA,PB，直线PA, PB的斜率分别为 «飞21 )若k1 k2 k*2二-1，求动点P的轨迹方程；(2)若点P在直线x • y = m上，且PA _ PB，求实数m的取值范围〖解析〗(1 )由题意设P(x°,y0)在园外，切线l：y —y° =k(x-x0),^y°=尿,Jk2+1(x2 -10)k2 -2x°y°k y2 -10 =0由k1 k2 k1k^ -1得点P的轨迹方程为x • y - 2-, 5 = 02) <■ P(x0,yo)在直线 x y=m上，.Xo y^m2Vo 。
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