第三章统计学教案(分布的数字特征).doc

第三章 统计分布的数值特征只知道什么是统计分布是不够的，还必须学会对其进行量化描述描述统计分布的重要的特征值有两个，一个是说明其集中趋势的平均指标，另一个是说明其离散程度的变异指标这一对矛盾的指标分别从不同角度反映了统计分布的分布特点，它们相辅相成，相互补充，缺一不可本章着重就这两个指标展开讨论，介绍了它们的理论、方法与应用，充分理解掌握本章的内容，对于以后各章节的学习尤为重要 本章的目的与要求通过本章学习，要求学生在了解总体分布的两个重要特征值就是平均指标与变异指标的前提下，着重掌握这两个指标的计算方法及其数学性质；明确反映集中趋势的各种平均指标的计算特点与作用、反映离散程度的各种变异指标的计算特点与作用；还要学会利用这两个特征值得各自数学性质，采用简捷法计算算术平均数和标准差，以提高计算效率；此外，算术、调和与几何平均数三者之间的关系，算术平均数与众数、中位数之间的关系等也是学生应充分理解掌握的内容本章主要内容（计划学时 7 ）一、分布的集中趋势（1）—— 数值平均数1、算术平均数2、调和平均数3、几何平均数二、分布的集中趋势（2）—— 位置平均数1、众数2、中位数3、其他分位数三、分布的离中趋势 —— 变异指标1、变异全距2、平均差3、标准差4、变异系数学习重点一、重点掌握各种平均数的特点、应用条件、应用范围和计算方法，及其相互之间的关系；二、了解变异指标的意义和作用，熟练掌握各种变异指标的计算方法，尤其应重点掌握标准差的计算与应用； 三、理解掌握算术平均数与标准差的数学性质，并且能利用其数学性质进行简捷计算；四、明确平均指标与变异指标的相互关系及其运用原则。

学习难点一、各种平均指标的应用条件、运用范围，尤其是加权算术权数的选择；二、根据所掌握的资料，应选择算术平均或调和平均方法; 三、标准差的理论依据及其计算方法，尤其是成数标准差的计算更是初学者不易掌握的问题第一节 分布的集中趋势（1）——数值平均数一、统计平均数1、反映总体分布的集中趋势2、反映统计数列所达到的一般水平（静态、动态）3、与强度相对数的区别二、算术平均数（用 表示）Ax（一）算术平均数的基本内容：算术平均数＝ 、（二）简单算术平均数nxnxniA121可简写为：nxA式中：xi 为变量值n 是总体单位数Σ 为总和符号例 3－1.1 从某味精厂的生产线上随机抽取了 10 包味精，测得每包净重分别为（单位：克） 499 497 501 499 502 503 500 499 498 500将此十个数据相加除以十就是算术平均数（结果为 499.8 克） 三）加权算术平均数对平均数的大小起着权衡轻重作用的数称为权数1、用绝对数作权数niiinA fxffxx121 可简写为：（特点：先乘后除）fxA式中：x 为变量值， f 是各变量值出现的次数计算见例 3－1.2 例 3－1.2 某工厂一生产班组 150 名工人日产零件数如下：日产零件数（件）组中值x工人数f人数比重 fx f f300 以下300 — 400400 — 500500 — 600600 — 700700 — 800800 以上2503504505506507508503122457301862816382012475042001080031350195001350051005.028.072.0209.0130.090.034.0合 计 — 150 100 85200 568.0＝568（件） 15082fxA2、用相对数作权数 fxfxfxfx nA21（特点：先除后乘）计算见例 3－1.2 ＝ 568（件）fxA两者的关系如下： fxfffxnA21fxffnfx3、简单算术平均数与加权算术平均数的关系 当 f1 = f2 = … = fn 时 nAffxxx 21f)(nxf （四）算术平均数的数学性质1、算术平均数与总体单位数的乘积等于各变量值总和;（1）简单式xn（2）加权式 ff2、各变量值与算术平均数离差之和等于 0；（1）简单式＝0 )(x（2）加权式＝0 f)(3、各变量值与其算术平均数离差的平方之和为最小值；（1）简单式为最小值2)(x证明： 设 02020 )]()[()( xxx＝ )(202 xn因为： ，所以 )(x20220 )()(xnx式中 ＞0 ，所以 2)(xn为最小（2）加权式为最小值 fx2)(4、各变量值加减一任意数 A，算术平均数也加减这一任意数 A；（1）简单式 Axn)(（2）加权式 f)(5、各变量值乘除于一任意数 d，算术平均数也乘除于 d； （1）简单式xnd（2）加权式dxf综合第四、第五数学性质得： xba证明：= nxa)(= b= a ± b x说明对被平均的变量施加某种线性变换，新变量的算术平均数就等于对原变量的算术平均数施加同样线性变换的结果。

6、两个独立变量和的平均数，等于这两个独立变量平均数的和即yx证明： = yxmnyxjniji1)(= jij1)(= mnyxnij11 = mynxji1= 这一结论还可以推广到任意多个变量 （五）算术平均数的简捷计算00)(xdfx（根据第 4 和第 5 个数学性质，算术平均数的简捷计算公式还可以写出许多种）例 3－1.2 某工厂一生产班组 150 名工人日产零件数如下：日产零件数（件）组中值x工人数f x －550 105xfx05300 以下300 — 400400 — 500500 — 600600 — 700700 — 800800 以上250350450550650750850312245730186－300－200－1000100200300－3－2－101 23－9－24－24030 3618合 计 — 150 — 27设：x 0＝550 ，d ＝100 ， ＝ ＝568（件） 00)(xf50127三、调和平均数（用 表示）Hx（一）调和平均数的数学意义调和平均数是各变量值倒数的算术平均数的倒数，所以也称倒数平均数。

即121Hnxx（二）调和平均数的统计意义统计上的调和平均数要求其计算结果、分析结论要与算术平均数的相同，即，要保证仍然是“总体标志总量与总体单位总量的比” 1、简单调和平均数： （见例 3－1.3）1Hnx 2、加权调和平均数： （见例 3－1.4）1Hmx（当各种价格所购买的金额不是 1 元，而是 mi 元，这时计算平均价格就应采用加权调和平均数的方法） 例 3－1.3 某蔬菜价格资料如下：价格（元/500 克）x 购买数量（500 克）f 购买金额（元） xf早市午市晚市0.500.400.251110.500.400.25合计 — 3 1.15计算平均价格： （元/500 克）8.05.nxA价格（元/500 克）x 购买金额（元）m 购买数量（500 克）m/x早市午市晚市0.500.400.251112.02.54.0合计 — 3 8.5计算平均价格： （元/500 克） 5.08xnH当购买的金额不是 1 元而是多元时，按加权调和平均数的方法计算：例 3－1.4 某蔬菜价格资料如下：价格（元/500 克）x 购买金额（元）m 购买数量（500 克）m/x早市午市晚市0.500.400.252040154010060合计 — 75 200 计算平均价格： （元/500 克）375.02xmH计算时，可根据变量的计量单位（元/500 克） 确定分子分母。

当已知分母，未知分子时，采用算术平均的方法计算；当已知分子，未知分母时，采用调和平均的方法计算；本例已知购买金额（已知分子，分母未知） ，应采用调和平均的方法计算平均数3、加权调和平均数与加权算术平均数的关系 当 x f = m 时， f = ， 则 x = fxm1（三）调和平均数与算术平均数的计算要点1、当现象总体的总量资料是由各个个体的数值相加所得时，用算术或调和平均的方法计算平均数2、当掌握算式的分母资料（即总体单位总量） ，未知分子资料（即总体标志总量） ，采用算术的方法; 当掌握算式的分子资料（即总体标志总量） ，未知分母资料（即总体单位总量） ，采用调和的方法3、选择单位数加权时，采用算术平均方法；而选择标志总量加权时，则采用调和平均的方法4、对相对数或平均数求平均时，计算时的计算形式应与被平均的相对数或平均数的原形式保持一致四、几何平均数（用 表示）Gx（当现象总体的量与各个个体的量之间的关系为积商关系时，用几何平均的方法计算平均数）（一）简单几何平均数 12nnGxx（二）加权几何平均数1212 nnfff ffG x 显然，几何平均数是 n 个变量值连乘积的 n 次方根，适用于计算平均比率或平均速度时，且统计中运用较多的是简单几何平均数。

将几何平均数采用对数的形式表示，就成为取对数以后的算术平均数，所以几何平均数也称为对数平均数即简单式xnxxnxG lg1)lgl(g1l2加权式xffff nlg1)lll(l 21五、幂平均数 对于给定的一组变量值： ，其“k 阶幂平均数（用 Mk 表示） ”定义为： )(21nxx、1、简单式 Mk = kn2、加权式 Mk = kfx1 当 k = 1 时，则 M1 就是算术平均数 ；Ax当 k = -1 时， M-1 就是调和平均数 ；H当 k = 2 时，M 2 就是平方平均数的平方根 ； S当 k = 0 时，M 0 的极限就给出几何平均数 G证明： 设 a ≠ b 则 （a - b） 2 ＞ 0a2 –2 ab + b2 ＞ 0a2 + b2 ＞ 2 ab ＞ ab 令 x1 = a2 , x2 = b2 上式为＞ 2121说明 ＞ AxG又：若令 = a 2 ， = b 2 1x则上式为＞21x21x＜21x说明 ＞ GH所以 ＞ ＞Ax又因为： 而且 ＞ 022)(A2所以： ＞ x＞ 2A并且有： S ＞ ＞ ＞ AxGH（不考虑被平均变量的经济意义，仅从其数学意义看，同一变量按此各种不同的平均数方法计算，有以上关系） 对于 Mk = ，当 k →0 时为几何平均数的说明：knx1 对其两边取对数)(nxkl1lnMk求极限kkk)(klimli00此式的分子、分母均为无穷小量，即为 ，用罗彼塔法则,分别在分子、分母上对 k 求0导如下： nxkkkk l1limlni00)(xk式中：（求导法则见下）nxkkkkl1limlni00)(xk即： kkMlni0kxlli0l这就是一个对数平均数的式子，说明在 Mk = 中，当 k →0 时为几何平均数。

knx1求导法则： ， x1)(lnaxl)(第二节 分布的集中趋势（2）——位置平均数一、众数（用 m0 表示）（一）概念：变量数列中。