北师大版高中数学选修21教案231 双曲线及其标准方程.doc

2.3双曲线2. 3. 1双曲线及其标准方程♦知识与技能目标理解双iiii线的概念，掌握双曲线的定义、会用双iiii线的定义解决实际问题；理解双曲线 标准方程的推导过程及化简无理方稈的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的《几 何画板》的制作或操作方法.♦过程与方法目标（1） 预习与引入过稈预习教科书56页至60页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥 的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆 锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：笫一、你 能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；笫二、你能举出现实生活中双曲 线的例了.当学生把上述两个问题冋答清楚麻，要引导学生一起思考与探究％页上的问题（同 桌的两位同学准备无弹性的细绳了两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套） 和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm,另一条约12cm, 一端 结个套，另一端是活动的），图钉两个）.当把绳了按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另 一端重合在一起，拉紧绳了，移动笔尖，画出的图形是双曲线.启发性提问：在这一过程中， 你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？ K板书U 2. 2. 1双曲线及其标准方 稈.（2） 新课讲授过程（i） 由上述探究过程容易得到双曲线的定义.K板书11把平血内与两个定点片，巴的距离的差的绝对值等于常数（小于|鬥|）的点 的轨迹叫做双曲线（hyperbola）.其中这两个定点叫做双|11|线的焦点，两定点间的距离叫做 双曲线的焦距.即当动点设为M时，双"11线即为点集=（ii） 双曲线标准方程的推导过程提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学 生来建立直角坐标系.无理方稈的化简过稈仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方稈的两次移项、平方整理的 数学活动过程.类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方稈；第二、a,b,c的关系有 明显的儿何意义.2 2类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程匚-二=1@>0小>0）. cr（iii）例题讲解、引中与补充例1已知双曲线两个焦点分别为巧（一5,0）, F,（5,0）,双曲线上一点P到片，耳距离并的绝对值等T6,求双曲线的标准方程.分析：由双Illi线的标准方稈的定义及给出的条件，容易求出a,b,c・补充：求下列动圆的圆心M的轨迹方程：①与OC： (x + 2)2+y2=2内切，且过点 4(2,0)；②与 OC1： x2+(y-l)2 =1 和 OC?： x2+(y-l)2 = 4 都外切；③与 0C,： (x + 3)+)，=9外切，且与OC2：(兀一3)2+)/= 1 内切.解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题.具体解：设动圆M 的半径为r・① VOC与OM内切，点A在。

C外，A \MC\ = r-^2 , \MA\ = r ,因此有 \MA\-\MC\ = 42f :.点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，即M的轨迹方程是 2x2 一竽=1(兀＜② V O M与G)G、OC?均外切，・\ |A/Cj = r + 1 , |MC』=厂+ 2,因此有 |MC2|-|MC,| = I, /.点M的轨迹是以G、G为焦点的双曲线的上支，・・・M的轨迹方程是③・・• M与G外切，且M与C?内切，.\ |MC,| = r + 3, |MC2| = r-l,因此 |MG卜|MCj = 4,・・・点M的轨迹是以C「Q为焦点的双曲线的右支，・・・M的轨迹方程是讣一 "(22).例2已知4, 〃两地相距800/77,在4地听到炮弹爆炸声比在B地晚2$,且声速为340m /5 ,求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A , 8两地听到爆炸声的时间差, 即可知A , B两地与爆炸点的距离羌为定值.由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程.扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同 时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4$・已知各观察点到 该中心的距离都是1020m .试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为340m/5 : 相关点均在同一平面内).解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比 正西晚4$ ,则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上.如图，以接报中心为原点O,正东、正北方向分别为兀轴、y轴方向，建立 直角坐标系，设A、〃、C分别是西、东、北观察点，则A (-1020,0), 3(1020,0), C(0,1020).设P（x,y）为巨响发生点，V A. C同时听到巨响,：・0P所在有•线为y = -x……①，又因B点比A点晚4s听到巨响声,A|Pfi|-|PA| = 4x340=1360（m）.由双曲线定义知,ci — 6809)厂c = 1020 ,・・・b = 340^5 , 二 P 点在双曲线方6802 5x340」（乂皿。

•…②-联立①、②求出卩P（-680V5,680^5）・即巨响在正西北方向68（）Vl0m处.探究：如图，设A, B的坐标分别为（-5,0）, （5,0）.直线AM ,4点M,且它们的斜率Z积为一，求点M的轨迹方程，并与2. 1.例3比较，有什么发现?9探究方法：若设点M（x,y）,则直线AM , 的斜率就可以用含的式子表示，由4 于宜线AM , BM的斜率之积是因此，可以求出兀,yZ间的关系式，即得到点M的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标通过课件（d）的展示与操作，必须让学生认同：与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲面所 得截口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线；必须让学生认同与体会：双曲线的定义及特殊 情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是两条射线；必须让学生认同与理解：已知几何图形 建立育角坐标系的两个原则，及引入参量h = y/c2-a2的意义，培养学生用对称的美学思维 来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：像例1这基础题配备是必要的，但对定义的理解 和使用是远远不够的，必须配备有一定灵活性、有一定的思维空间的补充题；例2是典型双 曲线实例的题目，对培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题有一定的帮 助，但要准确判定爆炸点，必须对此题进行扩展，培养学生归纳、联想拓展的思维能力.♦能力目标（1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想彖口常生活中哪些是双曲线的实际例 了，能用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义，能正确且肓观地绘作图形， 反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示.（2） 思维能力：会把儿何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为儿 何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引 申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力.（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力.（5）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径.。