2012二轮专题万有引力问题分析(答案).doc

卫星问题分析图4-3例1：如图4-3所示，在均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心边线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？【解析】 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可求解完整的均质球体对球外质点m的引力此引力可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F1与半径为R/2的小球对近质点的引力F2之和，即F=F1+F2因为半径为R/2的小球质量M′=；则，所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力为:图4-4 2、必须区别开普勒第三行星定律中的常量K与万有引力定律中常量G的不同例2：行星绕太阳运转的轨道是椭圆，这些椭圆在一般情况下可以近似视为圆周轨道，试用万有引力定律和向心力公式证明对所有绕太阳运转的行星，绕太阳公转轨道半径的立方与运转周期的平方的比值为常量论述此常量的决定因素有哪些?此结论是否也适用于地球与月球的系统？ 【审题】 本题中行星绕太阳运转的轨道近似视为圆周轨道时，只要运用万有引力定律和向心力公式即可证明得出结论解析】 因为行星绕太阳运转需要的向心力是由太阳的万有引力提供，设太阳质量为M，行星的质量为m，行星绕太阳运转轨道的半径为r，运行周期为T，则，GMm/r2=m4π2r/T2,故，r3/T2=GM/4π2，即，K= GM/4π2。

显然，由于太阳质量一定，K的数值仅由太阳质量M决定，与其它因素无关这一结论适用于地球与月球系统，也适用于其它‘中心天体’与‘环绕天体’组成的天体系统总结】开普勒第三定律中的常量K与万有引力定律中的常量G的这种关系（K= GM/4π2，或者G=4π2/GM）可以用来方便的求解卫星类的问题，作为一种解题的‘切入口’应在解题过程中予以重视3、必须区别地面物体的万有引力与重力以及向心力的不同例4：已知地球半径R=6.37×106m.地球质量M=5.98×1024Kg,万有引力常量G=6．67×10-11 Nm2/Kg2.试求挂在赤道附近处弹簧秤下的质量m=1Kg的物体对弹簧秤的拉力多大？图4-6【审题】对物体受力分析如图4-6所示，弹簧秤对物体竖直向上的拉力和地球对物体竖直向下的万有引力的合力提供了物体随地球自转而做匀速圆周运动的向心力解析】在赤道附近处的质量m=1Kg的物体所受地球的万有引力为F=GMm/R2=6.67×10-11×5.98×1024×1/ (6.37×106)2 N=9.830N此物体在赤道所需向心力为 F向=mω2R=mR4π2/T2=1×（）2×6.37×106 N=0.0337 N。

此物体在赤道所受到的弹簧秤拉力为F拉=F-F向=（9.830-0.0337）N=9.796N由牛顿第三定律可知，物体对弹簧秤的拉力为F拉=9.796N亦即物体所受到的重力也是9.796N总结】由计算可知，引力F=9.830N远大于向心力F向=0.0337 N，而物体所受重力9.796N与物体所受的万有引力F=9.830N相差很小，因而一般情况下可认为重力的大小等于万有引力的大小但应该切记两点：①重力一般不等于万有引力，仅在地球的两极时才可有大小相等、方向相同，但重力与万有引力仍是不同的两个概念②不能因为物体随地球自转所需要的向心力很小而混淆了万有引力、重力、向心力的本质区别训练：地球赤道上的物体重力加速度为g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a,要使赤道上的物体“飘”起来,则地球转动的角速度应为原来的( B ) 倍A. B. C. D. 【总结】当赤道上的物体“飘”起来时,是一种物体、地球之间接触与脱离的临界状态，地球对物体的支持力为零，只有万有引力完全提供向心力，只要正确运用牛顿第二定律和万有引力定律列式求解即可 4、必须区别天体系统中‘中心天体’与‘环绕天体’的不同（ ACD ）例4：已知引力常量G和以下各组数据，能够计算出地球质量的是：A．地球绕太阳运行的周期和地球与太阳间的距离B．月球绕地球运行的周期和月球与地球间的距离C．人造地球卫星在地面附近处绕行的速度与周期D．若不考虑地球的自转，已知地球的半径与地面的重力加速度5、必须区别卫星的运行速度与发射速度的不同例5：1999年5月10日，我国成功地发射了“一箭双星”，将“风云一号”气象卫星和“实验五号”科学实验卫星送入离地面高870km的轨道。

这颗卫星的运行速度为（ C ）A、7.9km/s B、11.2 km/sC、7.4 km/s D、3.1 km/s6、必须区别由万有引力、重力、向心力构成的三个等量关系式的不同例6：设有两颗人造地球卫星的质量之比为m1：m2 ＝１：２，其运行轨道半径之比为Ｒ１：Ｒ２ ＝３：１，试求此两颗卫星运行的：①线速度之比，②角速度之比，③周期之比，④向心加速度之比7、必须区别赤道轨道卫星、极地轨道卫星与一般轨道卫星的不同人造地球卫星从轨道取向上一般分为三类：赤道轨道、极地轨道和一般轨道所谓赤道轨道卫星，是指这种卫星的轨道处在地球赤道的平面之内，卫星距赤道地面具有特定的高度，其运行速度由公式 v =可求得而在实际当中只有处在36000km高空的赤道轨道上，且只有与地球自转方向相同的卫星才能与地球相对静止，称之为“同步卫星”，如图4-7所示如果其转向与地球自转反向，则就不能称之为“同步卫星”了另外，发射地球同步卫星时，为了节省能量，其发射地点应尽量靠近赤道，以借助地球的自转线速度地球同步卫星具有“轨道不偏不倚”、“高度不高不低”、 “速度不快不慢”的六不特性如图4-7所示 。

所谓极地轨道卫星,是指卫星的轨道平面始终与太阳保持相对固定的取向.其轨道平面与地球赤道平面的夹角接近90度卫星可在极地附近通过,故又称为近极地太阳同步卫星这种卫星由于与地球之间有相对运动,可以观测,拍摄地球上任一部位的空中,地面的资料1999年5月10日我国”一箭双星”发射的”风云一号”与”风云二号”气象卫星中的”风云一号”就是这种极地轨道卫星 所谓一般轨道卫星是指轨道平面不与某一经线平面重合(赤道平面除外)的人造地球卫星 以上三种轨道卫星共同特点是轨道中心必须与地心重合,是以地心为圆心的”同心圆”.，没有与地球经线圈共面的轨道(赤道平面除外)例7： 可以发射一颗这样的人造地球卫星,使其圆轨道( ACD ) A 与地球表面上某一纬度线(赤道除外)是共面的同心圆 B 与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面的 C 与地球表面上的赤道线是共面同心圆,而且相对地球表面是静止的 D与地球表面上的赤道线是共面同心圆, 但卫星相对地球表面是运动的8、必须区别“赤道物体”与“同步卫星”以及“近地卫星”的运动规律不同例8：设同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为al，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，下列关系中正确的有( )。

A、= B、= C、= D、=R/r9、必须区别天体的自身半径与卫星的轨道半径的不同例9：假如一个作匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍作匀速圆周运动，则：(A)根据公式，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍 (B)根据公式，可知卫星所需的向心力将减小到原来的C)根据公式，可知地球提供的向心力将减小到原来的 (D)根据上述(B)和(C)中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的10、必须区别两个天体之间的距离Ｌ与某一天体的运行轨道半径ｒ的不同　　例10：天文学家经过用经过用天文望远镜的长期观测，在宇宙中发现了许多“双星”系统.所谓“双星”系统是指两个星体组成的天体组成的天体系统，其中每个星体的线度均小于两个星体之间的距离根据对“双星”系统的光学测量确定，这两个星体中的每一星体均在该点绕二者连线上的某一点做匀速圆周运动，星体到该点的距离与星体的质量成反比一般双星系统与其他星体距离较远，除去双星系统中两个星体之间的相互作用的万有引力外，双星系统所受其他天体的因；引力均可忽略不计如图４－８所示图４－８根据对“双星”系统的光学测量确定，此双星系统中每个星体的质量均为m，两者之间的距离为L。

1)根据天体力学理论计算该双星系统的运动周期T0.(2)若观测到的该双星系统的实际运动周期为T,且有，（N>1）为了解释T与T0之间的差异，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在着一种用望远镜观测不到的“暗物质”，作为一种简化的模型，我们假定认为在这两个星体的边线为直径的球体内部分布着这种暗物质，若不再考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型理论和上述的观测结果，确定该双星系统中的这种暗物质的密度审题】 “双星系统”是一种比较特殊化、理想化的天体运动的模型，求解“双星”问题时必须注意到双星之间的距离L与两球体各自作匀速圆周运动的轨道半径r的本质区别与内在关系，并建立双星的空间运动模型，然后依据万有引力定律与匀速圆周运动的规律求解即可 　【解析】 （1）由于“双星”的两个星体之间的万有引力提供二者的向心力，且因二者的质量相等，故各自的运动半径均为，设各自的运行速度为v，由万有引力定律得=，即得V= .周期得公式可得，双星得运动周期为==（2）此“双星”各在半径为的圆形轨道上运动，由实际得天文观测知，其实际运行的周期为，（N>1），即实际运动周期T<，表明“双星’还受到其他物质的引力，且该引力必然指向圆心，由题可知，这一万有引力的来源必定时双星的范围之内均匀分布的暗物质。

把这种暗物质等效于总物质集中在圆心处的星体如图４－８所示，设考虑了暗物质的作用之后，观测到的每个星体的运行速率为，暗物质的总质量为M，由引力定律与圆周运动规律可得+=，则=又因T=，在半径r一定时，T与v成反比由题意得，（N>1），则==，把V= 和=代入此式可得暗物质得总质量为M=又设所求暗物质的密度为ρ，则“暗物质”质量M==，所以，ρ=11．必须区别地面物体的受阻减速与人造地球卫星的受阻变轨的不同 对于地面上做直线运动的物体而言,由运动学规律和牛顿第二定律可知,如果受到阻力的作用,必然产生与运动速度方向相反的加速度而做减速运动,直到最后停止运动.对于处在轨道上正常运行的人造地球卫星,由于是万有引力完全提供向心力,其速度由GMm/r2 =m v2/r得v =, 其加速度由GMm/r2＝m得＝GM/r2.显然,卫星的线速度v和加速度a均与轨道半径r存在特定的关系.当正常的“无动力”运行的卫星突然受到阻力的作用时，由运动学的原理可知，此时卫星的速度就会瞬时减小然而，此处最易出现的错误就是：既然卫星由于阻力的作用其速度必然减小，则由v =可知，其轨道半径r变大，运行周期也将变大，显然这是错误的. 导致这种错误的根本原因是,仅仅片面考虑了阻力的作用而遗忘了还有万有引力的存在.这里要特别注意的是,决定人造地球卫星运动状态的主要因素是万有引力而不是所受的阻力.正确的分析思路是:由于阻力的作用,卫星的速度v必然减少,假定此时卫星的轨道半径r还未来得及变化,即有万有引力=GMm/r2也未变化；而向心力= m v2/r则会变小.因此,卫星正常运行时“=”的关系则会变为“>”，故而在万有引力作用下卫星必做近地向心运动,从而使轨道半径r变小;又由公式v =可知,卫星的运行速度必然增大.究其实质,此处卫星速度的增大是以轨道高度的减小(或者说成是引力做正功,重力势能减少)为条件的.例11：某人造地球卫。