核心素养测评十二 函数的应用(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.某股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先后经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下降10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为 ( )A.略有盈利 B.略有亏损C.不盈不亏 D.无法判断【解析】选B.设这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a1.1n,再经历n次跌停后的价格为a1.1n0.9n=0.99na7,代入B选项,得y=x2-1≈3,代入D选项,得y=x3>8;取x=3,代入A选项,得y=2x+1-1=15,代入B选项,得y=x2-1=8,代入D选项,得y=x3=27.4.(2020合肥模拟)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t(s),他与教练间的距离为y(m),表示y与t的函数关系的图像大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的 ( )A.点M B.点N C.点P D.点Q【解析】选D.假设这个位置在点M,则从A至B这段时间,y不随时间的变化改变,与函数图像不符,故A选项错误;假设这个位置在点N,则从A至C这段时间,A点与C点对应y的大小应该相同,与函数图像不符,故B选项错误;假设这个位置在点P,则由函数图像可得,从A到C的过程中,会有一个时刻,教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离,而点P不符合这个条件,故C选项错误;经判断点Q符合函数图像,故D选项正确.5.一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示. 给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水,则一定正确的是 ( )A.① B.①② C.①③ D.①②③【解析】选A.由甲、乙两图知,进水速度是出水速度的12,所以0点到3点不出水,3点到4点可能一个进水口进水,一个出水口出水,但总蓄水量降低,4点到6点也可能两个进水口进水,一个出水口出水,一定正确的是①.二、填空题(每小题5分,共15分)6.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________________.【解析】总费用为4x+600x6=4x+900x≥42900=240,当且仅当x=900x,即x=30时等号成立.答案:307.(2020唐山模拟)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________________m.【解析】设矩形花园中与x相邻的另一边长为y m,则x40=40-y40,即y=40-x,矩形花园的面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400,当x=20 m时,面积最大.答案:208.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为________________分钟. 【解析】由实验数据和函数模型知,二次函数p=at2+bt+c的图像过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分别代入解析式,得0.7=9a+3b+c,0.8=16a+4b+c,0.5=25a+5b+c,解得a=-0.2,b=1.5,c=-2.所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以当t=3.75时,可食用率p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.答案:3.75三、解答题(每小题10分,共20分)9.某种出口产品的关税税率为t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=2(1-kt)(x-b)2,其中k,b均为常数.当关税税率t=75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量约为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.(1)试确定k,b的值.(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:q=2-x,当p=q时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.【解析】(1)由已知1=2(1-0.75k)(5-b)2,2=2(1-0.75k)(7-b)2⇒(1-0.75k)(5-b)2=0,(1-0.75k)(7-b)2=1,解得b=5,k=1.(2)当p=q时,2(1-t)(x-5)2=2-x,所以(1-t)(x-5)2=-x⇒t=1+x(x-5)2=1+1x+25x-10.而f(x)=x+25x在(0,4]上单调递减,所以当x=4时,f(x)有最小值414,故当x=4时,关税税率的最大值为500%.10.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元. (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系.(2)若该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?【解析】(1)设两类产品的收益与投资的函数关系分别为f(x)=k1x,g(x)=k2x.由已知得f(1)=18=k1,g(1)=12=k2,所以f(x)=18x(x≥0),g(x)=12x(x≥0).(2)设投资股票类产品为x万元,则投资债券类产品为(20-x)万元.依题意得y=f(20-x)+g(x)=20-x8+12x=-x+4x+208(0≤x≤20).所以x=2,即x=4时,收益最大,ymax=3万元.故投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时获得最大收益,为3万元.(15分钟 35分)1.(5分)(2020邯郸模拟)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传,在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y=1+3xx+2(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为4万元,每生产1万件此产品仍需再投入30万元,且能全部售完.若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和,则当广告费为1万元时,该企业甲产品的年利润为 ( )A.30.5万元 B.31.5万元C.32.5万元 D.33.5万元【解析】选B.由题意,产品的生产成本为(30y+4)万元,销售单价为30y+4y150%+xy50%,故年销售收入为z=30y+4y150%+xy50%y=45y+6+12x.所以年利润W=z-(30y+4)-x=15y+2-x2=17+45xx+2-x2(万元).所以当广告费为1万元时,即x=1时,该企业甲产品的年利润为17+451+2-12=31.5(万元).【变式备选】已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶,甲、乙两车的速度曲线分别为v甲和v乙,如图所示,那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是 ( )A.在t1时刻,甲车在乙车前面B.t1时刻后,甲车在乙车后面C.在t0时刻,两车的位置相同D.t0时刻后,乙车在甲车前面【解析】选A.由图像可知,曲线v甲比v乙在0～t0,0～t1与t轴所围成的图形面积大,则在t0,t1时刻,甲车均在乙车前面.2.(5分)(2019南京模拟)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每座城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=32a-6,乙城市收益Q(单位:万元)与投入A(单位:万元)满足Q=14A+2,则投资两座城市收益的最大值为 ( )A.26万元 B.44万元C.48万元 D.72万元【解析】选B.设在甲城市投资x万元,在乙城市投资(120-x)万元,所以总收益f(x)=32x-6+14(120-x)+2=-14x+32x+26,由题意知x≥40,120-x≥40,解得40≤x≤80.令t=x,则t∈[210,45],所以y=-14t2+32t+26=-14(t-62)2+44,当t=62,即x=72时,y取得最大值44,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.3.(5分)已知某工厂生产某种产品的月产量y(单位:万件)与月份x之间满足关系y=a0.5x+b,现已知该产品1月、2月的产量分别为1万件、1.5万件,则该产品3月份的产量为________________万件.【解析】由已知得0.5a+b=1,0.52a+b=1.5,解得a=-2,b=2,故当x=3时y=-20.53+2=1.75.答案:1.754.(10分)某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x台机器人的总成本p(x)=1600x2+x+150(万元). (1)若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台?(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图),经实验知,每台机器人的日平均分拣量q(m)=815m(60-m),1≤m≤30480,m>30(单位:件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件,问引进机器人后,日平均分拣量达到最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几?【解析】(1)由总成本p(x)=1600x2+x+150(万元),可得每台机器人的平均成本y=p(x)x=1600x2+x+150x=1600x+150x+1≥21600x150x+1=2.当且仅当1600x=150x,即x=300时,上式等号成立.所以若使每台机器人的平均成本最低,应买300台.(2)引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量q(m)=815m(60-m),1≤m≤30,480,m>30,当1≤m≤30时,300台机器人的日平均分拣量为160m(60-m)=-160m2+9 600m,所以当m=30时,日平均分拣量有最大值144 000.当m>30时,日平均分拣量为480300=144 000.所以300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件.若传统人工分拣144 000件,则需要人数为14。
