核心素养测评十八 弧度制与任意角的三角函数(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若sin α<0且tan α<0,则α是 ( )A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【解析】选D.由sin α<0,得α的终边在第三或第四象限或在y轴非正半轴上;由tan α<0,得α在第二或第四象限,所以α是第四象限角.2.sin 2cos 3tan 4的值( )A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在【解析】选A.因为sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,所以sin 2cos 3tan 4<0.3.若角α=45+k180,k∈Z,则角α的终边落在 ( )A.第一或第三象限 B.第一或第二象限C.第二或第四象限 D.第三或第四象限【解析】选A.当k为偶数时,令k=2n,α=45+n360,此时α为第一象限角,排除C,D;当k为奇数时,令k=2n+1,α=225+n360,此时α是第三象限角,排除B;所以角α的终边落在第一或第三象限.4.已知扇形的半径为12 cm,弧长为18 cm,则扇形圆心角的弧度数是 ( )A.23 B.32 C.2π3 D.3π2【解析】选B.l=|α|r,所以|α|=lr=1812=32.5.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是 ( )A.(-2,3] B.(-2,3)C.[-2,3) D.[-2,3]【解析】选A.由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上,所以3a-9≤0,a+2>0,解得-20),弧长为l,则由扇形面积公式可得2=12lr=12|α|r2=124r2,解得r=1,l=|α|r=4,所以所求扇形的周长为2r+l=6.2.(5分)(2019南昌模拟)已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则sin α等于 ( )A.sin 2 B.-sin 2 C.cos 2 D.-cos 2【解析】选D.因为r=(2sin2)2+(-2cos2)2=2,由任意角的三角函数的定义,sin α=yr=-cos 2.3.(5分)函数y=2sinx-1的定义域为________.【解析】因为2sin x-1≥0,所以sin x≥12.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示).所以x∈2kπ+π6,2kπ+5π6(k∈Z).答案:2kπ+π6,2kπ+5π6(k∈Z)4.(10分)已知角α的顶点在坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边上有一点P(3a,4a),其中a≠0,求sin α,cos α,tan α. 【解析】设r=|OP|=(3a)2+(4a)2=5|a|.①当a>0时,r=5a,所以sin α=4a5a=45,cos α=3a5a=35,tan α=4a3a=43;②当a<0时,r=-5a,所以sin α=-45,cos α=-35,tan α=43.综上,sin α=45,cos α=35,tan α=43,或sin α=-45,cos α=-35,tan α=43.5.(10分)已知角α终边经过点P(x,-2)(x≠0),且cos α=36x.求sin α+1tanα的值. 【解析】因为P(x,-2)(x≠0),所以点P到原点的距离r=x2+2.又cos α=36x,所以cos α=xx2+2=36x.因为x≠0,所以x=10,r=23.当x=10时,P点坐标为(10,-2),由三角函数的定义,sin α=-66,1tanα=-5,所以sin α+1tanα=-66-5=-65+66;当x=-10时,同理可得sin α+1tanα=65-66.【变式备选】在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点是坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆O交于点A(x1,y1),α∈π4,π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4,交单位圆于点B(x2,y2).(1)若x1=35,求x2.(2)过A,B作x轴的垂线,垂足分别为C,D,记△AOC及△BOD的面积分别为S1,S2,且S1=43S2,求tan α的值.【解析】(1)因为x1=35,y1>0,所以y1=1-x12=45,sin α=45,cos α=35,所以x2=cosα+π4=cos αcosπ4-sin αsinπ4=-210.(2)S1=12sin αcos α=14sin 2α.因为α∈π4,π2,所以α+π4∈π2,3π4,S2=-12sinα+π4cosα+π4=-14sin2α+π2=-14cos 2α.因为S1=43S2,所以sin 2α=-43cos 2α,即tan 2α=-43,所以2tanα1-tan2α=-43,解得tan α=2或tan α=-12.因为α∈π4,π2,所以tan α=2.- 7 -。
